RELAZIONE SULLA MEMORIA DEL PROF. R. DE PAOLIS 255 



Tale applicazione si presenta da prima nel sistema costituito 

 da tutti gli aggruppamenti projettivi d'ordine n fra n forme 

 fondamentali. Definiti in modo ovvio i fasci di aggruppamenti 

 (e stabilita per essi, nel n. 56, una proprietà caratteristica im- 

 portante), si riconosce poi in base ad essi che quel sistema di 

 aggruppamenti è fondamentale (di specie 2" — 1). In conseguenza 

 si possono introdurre dei sistemi fondamentali di varie specie 

 (<2" — 1) di ttpn, e riferirli projettivamente fra loro: cosa im- 

 portante per tutto il seguito. — Mediante ciò, e partendo dagli 

 aggruppamenti di 2° ordine, per poi procedere con l'induzione 

 completa ad aggruppamenti d'ordine qualunque, si definiscono e 

 si studiano gli aggruppamenti projettivi armonici. Se a^.hyC,...^=0 

 e a\JjyC'....^=^ sono le equazioni dei due aggruppamenti, la 

 condizione di armonia è («»') {hV) (cc'),..:=0. Geometricamente 

 due tLp„ si definiscono come armonici (supposta già data la defi- 

 nizione per due i^Xj:)„_i) nel seguente modo. Due elementi x, od 

 di una delle n forme son completati in gruppi di due ttj)„ qua- 

 lunque dai gruppi di elementi delle rimanenti n — 1 forme i 

 quali costituiscono due (J:T2'n-i" si considerino x, ed come omo- 

 loghi quando questi ultimi due aggruppamenti sono armonici : 

 allora x, a/ si corrisponderanno in una projettività. Orbene, se 

 questa è un'involuzione, si dice che i due S^p„ sono armonici. 

 Tale relazione è di somma importanza per tutta quanta la teoria. 

 Essa determina una corrispondenza reciproca involutoria fra i 

 sistemi di S^p„. Essa conduce ad uno svolgimento della massima 

 generalità della teoria della polarità rispetto ad un ól|9„ , e 

 quindi dieW ayolarità fra aggruppamenti projettivi di qualunque 

 ordine, ecc. 



Come caso particolare degli S^p,, si ottengono (quando le n 

 forme sono sovrapposte) le involuzioni d'ordine n e specie (dimen- 

 sione) n — 1, vale a dire, secondo la denominazione del De Paolis, 

 le involuzioni proiettive d'ordine n e rango n—\ (32'„,„_i); e 

 come intersezione à\. n — p involuzioni siffatte (e quindi del sistema 

 fondamentale da esse determinato) xm involuzione projettiva di 

 ordine n e rango p (-ip,, „) (*). Così pure da un aggruppamento 



(*) Il KÒTTER nel suo lavoro in vece che dagli t\p„ parte dalle involuzioni 

 d'ordine n e 1^ specie (che costruisce come luogo del gruppo degli elementi 

 uniti di due involuzioni fisse d'ordini minori m, ed n-m , riferite secondo 

 una projettività la quale varia in un dato fascio di projettività); e mediante 

 queste genera successivamente le involuzioni di specie superiori. 



