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projettivo <SLpn considerando solo i gruppi in cui gli elementi 

 coincidono secondo le multiplicità m^, 7)?j,...m^, ove lmi=n, 

 si ha (come già notammo) una cor rispondenza proiettiva [w, , 

 «?2> • • • ^'^r]' ogni corrispondenza siffatta si ottiene in tal modo 

 da tutti gli S^Pn di un sistema fondamentale la cui dimensione 

 è 2" — 1 — 2w?i — 2 Wi Wj — .. . — mim^.-m^. Di tutti questi enti 

 si ottengono molte proprietà valendosi di quelle già date prece- 

 dentemente per gli t\p„. Così si considerano le involuzioni ar- 

 moniche, gli elementi multipli od apolari, per involuzioni o per 

 S^Pn qualunque, ecc.; e di questi elementi si determina poi il 

 numero , come si trova il numero degli elementi uniti di una 

 corrispondenza (il principio di corrispondenza), il numero delle 

 coppie comuni a due corrispondenze tra due forme, quello degli 

 elementi uniti di due involuzioni di l'' rango riferite projettiva- 

 mente, ecc., ecc. La polarità generale rispetto ad un gruppo G„ 

 deriva poi da quella relativa alla 3|)„ „_i che ha gli elementi 

 di G„ per J^ — pli; e rapidamente, in poche pagine, si possono 

 ottenere come semplici corollari le principali proposizioni che vi 

 si riferiscono, il Jacobiano di due gruppi, l'Hessiano e lo Stei- 

 neriano di uno, l'armonia fra gruppi, ecc. 



Ad un certo punto di questa trattazione compare la neces- 

 sità di stabilire un teorema geometrico che compia in essa uf- 

 ficio analogo a quello che per l'algebra ha il teorema fonda- 

 mentale di questa. Ed invero è solo da un teorema siffatto che 

 si posson trarre ad es. i risultati citati relativi a numeri di ele- 

 menti multipli, uniti, ecc. Il nostro A. ha scelto in sostanza 

 per teorema fondamentale questo: che una ^p„^i ed una 3p„ „_i 

 hanno sempre un gruppo comune. Val la pena di riferire il con- 

 cetto della dimostrazione. Esso consiste nel considerare un fascio 

 di ^Pn,n—i di cui quella data faccia parte, e riferirlo alla forma 

 sostegno, riguardando come omologa ad un elemento di questa 

 ^'•^ ^Vn,n-i che contiene il gruppo della ^p„ i determinato da 

 quell'elemento. Rappresentando gli elementi della forma e quelli 

 del fascio di .l^J,, „_i coi punti di due sfere e, o^, si avrà una 

 corrispondenza [n, Ij fra i punti di 7 e quelli di un certo gruppo 

 di 7'. Ma la corrispondenza si dimostra esser continua (e con un 

 numero finito di punti di diramazione) : le si può dunque appli- 

 care un teorema sulle corrispondenze continue che il De Paolis 

 ha stabilito geometricamente nei lavori precedenti, e che qui cor- 

 risponde al teorema analitico a cui bisogna sempre ricorrere nel 



