GENERALIZZAZIONE DELLA FORMULA DI SIMPSON 365 



{h-a) 

 ^^~ 180.4'/ ^"^' 



e il resto è nullo per le funzioni di grado non superiore al terzo. 

 Paragonando le formule (p) e ([ó'), che si possono conside- 

 rare come egualmente approssimate, risulta che è più semplice, 



in generale, il calcolo dei tre valori /'(a), f\—^ — ), /"(&), che 

 esige la formula (^), che il calcolo dei due 



f(a + b 1 b-a\ Ja + h 1 ì)-a\ 



che esige la formola (|3'). Questo spiega il maggior uso della 

 formula [[lì) di Simpson sulla corrispondente (j3') di Gauss. 



Le formule di Gauss costituiscono una successione infinita , 

 mentrechè le formule dei trapezii e di Simpson erano finora 

 isolate. Io mi propongo di esporre qui una successione di infinite 

 formule di quadrature, di cui le due prime sono appunto la (a) 

 e la (P). 



Per semplicità supporremo i limiti dell'integrale eguali a — 1 

 e + 1, poiché basta fare il cambiamento 



a-\-h h — a , 



onde ridurci a questo caso. 



La questione che ci proponiamo è questa: Determinare gli 



w + 1 coefficienti A^, A^, . . . A„, e ^lì n— l valori Xi Xi . . . 



rr._i compresi fra — 1 e +1 in guisa che la formula 



(1) j j'f{x)dx = A,f{-ì)+AJ{x,)+A,f{x,)-{-. . . 

 f ' +A„_J{x„_,)-hA„f{ì) 



sussista, qualunque sia la funzione f{x) intera di grado 2w— 1. 

 La soluzione è la seguente. Pongasi. 



(2) Y„=(iyi.'-ir. 



