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GENERALIZZAZIONE DELLA FORMULA Di SIMPSON 36"/ 



Riguardo al secondo integrale, coll'integrazione per parti si ha: 

 '^Y, f (x) dx = |f (x) i^J '{x'-l r dx = 



=9w(0~V-ir-^'(-)(È) 



Mettendo i limiti — 1 e + 1 , tutti i termini integrati nel 

 secondo membro si annullano, perchè contengono il fattore a* — 1 ; 

 e siccome a; [x) è di grado n — 2, sarà a("~'^(a)= 0, onde: 



(8) ^Y„<^{x)dx=^0 

 ■ — i 



Sostituendo nella (6) ai due integrali del secondo membro i 

 ioro valori dati dalle (7) ed (8), si ha la formola (1) che- si 

 voleva dimostrare. • 



La formola (1), esatta se f{x) è intera di grado 2w — 1, 

 è approssimata se f{x) è una funzione arbitraria. Per calcolare- 

 l'errore J?, tale che si abbia : 



(9) \^f{x)iìx = LAJ{x;)-{-B, 

 —1 



si formi la funzione F {x), intera., di grado 2w — 1, che soddisfa 

 alle 2n condizioni : 



F [x,) = f{x,) , F{x,) = f{x,), F(x,) = f{x,) , 



. . . F {x„_^) = f {x„_, ) , F {x,) = f {x,), 



F'{x,)^f{x,). F'{x,) =r{x,) F'{x„_,)=f'{x„_,), 



Si avrà, com'è noto: 



/f2")(«) 



(10) f{x)=F{x)-\~{x-x,){x- x^)\x—x.y...{x -x„^iY {x- x„)--—j- ■ 



Integrando si avrà appunto \F{x) clx=y,A^f{x^), onde 



(11) B= l{x-Xo){x-x,Y...{x~x„_,)^x-x,y—^clx. 



