UN SISTEMA LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 389 



di quadriche generatrici, i cui gruppi-base formano su la C. un'in- 

 voluzione [fondamentale) di 8"" ordine e di 4^ specie e possono 

 riguardarsi come gli elementi di uno spazio lineare a quattro di- 

 mensioni, ho considerato alcune varietà lineari degne di nota di 

 tale spazio e ne ho dedotto una nuova genesi mediante reti di 

 coniche dell'involuzione che in un piano determina una rete di 

 cubiche aventi sette punti in comune {*), mettendo in evidenza 

 alcune notevoli proprietà di tale involuzione. 



Poscia ho fatto cenno delle superficie costituite da oo^ coniche 

 del sistema I e di quelle omaloidiche specialmente, fra le quali 

 è degna di nota quella di 6° ordine per cui la C. è doppia, 

 superficie di cui dà un breve cenno il Caporali nella sua clas- 

 sica Memoria : Sopra i sistemi lineari triplamente infiniti di 

 curve algebriche piane (**). 



Quindi ho studiato le trasformazioni birazionali involutorie 

 dello spazio nelle quali le coniche del sistema 2 sono coniugate 

 ciascuna a se stessa (involuzioni irriducibili, mediante trasforma- 

 zioni birazionali dello spazio, ad altri tipi già noti) ed ho dimo- 

 strato che ogni trasformazione razionale involutoria dello spazio, 

 nella quale le coppie di punti coniugati siano sui raggi di un 

 complesso di grado u. dotato di co- raggi (a-l)pli formanti una 

 stella, è in generale del tipo da me studiato; ed infine ho esa- 

 minato una corrispondenza fra punti e rette dello spazio deter- 

 minata dal sistema 2, nella quale ai punti dello spazio corris- 

 pondono delle schiere rigate sì fatte che una sola di esse con- 

 tiene una retta assegnata ad arbitrio ; ed ho dato in ultimo un 

 breve cenno del caso particolare in cui le coniche del sistema 2 

 hanno in comune un punto (nel quale caso la C- direttrice di 2 

 passa tre volte per tale punto e risulta di genere 3), dimostrando 

 che in tale caso esiste una trasformazione birazionale (4, 5) dello 

 spazio assai notevole che muta il sistema 2 in una stella di rette. 



(*) È la ben nota involuzione studiata dal Geiser nella Nota: Ueber 

 zwei geometrische Problerae (Giornale di Creile. Voi. 67 e posteriormente 

 considerata dal Bertini nelle sue Note : Ricerche sulle trasformazioni univoche 

 involutorie nel piano '] 24 (Annali di Matematica, Serie II, voi. 8) e Sopra 

 alcune involuzioni piane 5 27 e 28 (Rendiconti dell'Istituto lombardo, Serie II 

 voi. 16) e dal Caporali nella Nota : Sulle trasformazioni univoche piane in- 

 volutorie 5 11. (Sue memorie pag. 123). 



(**) Sue memorie, pag. 202, § 43, S". 



