UN SISTEMA LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 393 



Si hanno con ciò le caratteristiche elementari delle coniche del 

 sistema 1. 



4. Il complesso delle tangenti allo coniche di 2l è di 4'' grado, 

 giacché le sue rette situate in un piano o costituiscono l'invi- 

 luppo jj ottenuto nel paragrafo precedente e quelle che passano 

 per un punto P costituiscono il cono di 4° ordine di vertice P 

 circoscritto alla superficie S^ della rete S che contiene il raggio 

 r^ OP. Questo cono contiene la tangente ^ in P alla conica 

 di 1 che passa per P, e lungo tale retta tocca il piano t ~ Ot. 

 Esso ammette di più per raggio doppio la retta r ^ P. Ne 

 segue che il complesso che si esamina, ha per raggi doppi le rette 

 della stella (0). 



Le trisecanti della C-. sono anche rette doppie del complesso, 

 perchè per un punto P di una di esse t si ha che la S^ della 3 

 che contiene il raggio OP, passa anche per la t, sicché il cono 

 circoscritto a tale superficie di vertice P ammette oltre OP il 

 raggio doppio f. 



In un piano co della stella (0) l'inviluppo del complesso è 

 costituito dal fascio (0 — o)) contato due volte e dalle tangenti della 

 conica 7 di 2l di cui co è sostegno, perciò se questa degenera nella 

 coppia di rette t,t' segantisi in L, l'inviluppo in quistione ridu- 

 cesi ai due fasci (0— «), (L — w) da contarsi ciascuno due volte. 



Si noti ancora che i raggi del complesso che passano per un 

 punto P della (7-, costituiscono il cono di secondo grado (da con- 

 tarsi due volte) che é tangente in P alla superficie della rete 3 

 che ha in P un punto doppio. 



Infine è agevole riconoscere che può stabilirsi una corrispon- 

 denza univoca e prospettiva fra i raggi del complesso in quistione 

 ed i punti dello spazio. A ciò basta riguardare come corrispon- 

 denti un raggio t dpi complesso ed un punto P dello spazio quando 

 il primo sia la tangente in T alla conica di 1 che passa per questo 

 punto. In tale corrispondenza sono eccezionali i punti delle curve 

 Hji^, C„; le trisecanti di quest'ultima ed i raggi della stella (0). 



5 Una curva gobba C^ di genere 5 trovasi su oo- super- 

 ficie di 3° ordine (*) formanti rete, i cui fasci hanno per ulte- 



(*) Veg. Halphen, Sur la classification des courbes gauches algébriques. 

 Journal de l'École polytechnique — 52° Cahier — cap. I ; teor. 20, 



