394 D. MONTESANO 



riori linee basi coniche /., appoggiate alla C^ iu sei punti e co- 

 stituenti un sistema lineare doppiamente infinito. 



Ora si vuol dimostrare che tale sistema è della stessa na- 

 tura di quello studiato nei paragrafi precedenti, che cioè lo si 

 può riguardare in influiti modi come generato da una stella di 

 piani e da una rete di quadriche proiettive fra loro. 



A ciò, designando il sistema in quistione con 2, e con H la 

 rete della S^ che ha per base la C^, occorre premettere i seguenti 

 teoremi : 



a) I piani delle coniche del sistema 1 costituiscono una 

 stella di cui è centro un punto della C!^ {*). 



Che se '/,, -y', sono due qualsiansi coniche del sistema 1., basi 

 dei fasci (d, <ì/ della rete, ed w, w' sono i loro piani, il fascio 

 (p' sega il piano oj secondo un fascio di cubiche del quale sei 

 punti-base sono i punti d'appoggio della y, alla C!., onde gli 

 altri tre sono su una stessa retta. Ora di questi ultimi punti 

 due sono i punti (cj y'g) ed il terzo è il punto = (wC^) non 

 situato su ■/,; sicché per questo punto determinato completa- 

 mente dal piano w della conica 7., passa il piano w' di ogni altra 

 conica 7 2 di 2. 



Inversamente ogni piano w della stella (0) contiene una co- 

 nica del sistema 2£, perchè un fascio arbitrario della S sega il 

 piano w secondo un fascio di cubiche, in cui tre punti-base sono 

 per diritto, sicché gli altri sei che sono i punti di sezione, di- 

 versi da 0, del piano w con la C^, appartengono ad una conica 

 7, che evidentemente è base di un fascio della H e perciò ap- 

 partiene a 1. 



h) Le coniche del sistema 2 che appartengono ad una 

 xS'g della rete S, sono nei piani di un fascio della stella (0). 



Infatti tali coniche hanno tutte per corda quell'unica retta 

 r della superflcie S^ che ha un solo punto in comune con la 

 C^ (**), sicché i loro piani costituiscono il fascio (r). 



Inversamente le coniche del sistema 2 che appartengono ai 

 piani w di un fascio (r) della (0) sono su una superficie S^ della 

 rete H che contiene la r. 



Che se 7., è una tale conica, nel fascio di S., che ha per 



(*) Veg. la mia Nota già citata, pag. 213. 



(**) Veg. Sturm, Ueber die Gui-ven auf der allgenieinen Flàche dritter 

 Ordnung. (Math. Aunalen, voi. 21, pag. 491, n = 7,7). 



