UN SJSTEMA LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 395 



base le '/<,, C-, ve ne è una che contiene la r, secante semplice 

 della C- , e che perciò contiene anche tutte le altre coniche del 

 sistema - situate nei piani del fascio {r). 



Vi è dunque corrispondenza univoca fra le superficie della 

 rete !i ed i raggi della stella (0) in modo che una superficie della 

 H contiene il corrispondente raggio della (Oj. 



Alle S.^ di un fascio della S corrispondono i raggi di un fascio 

 della (0) e viceversa. 



e) Ogni quadrica F.^ che passi per una conica 7^ di i, 

 incontra la C-, al di fuori della y, in otto punti base di una rete 

 di quadriche. 



Infatti le superficie S^ del fascio della H che ha per base 

 le C. , 7, , segano la quadrica F^ , oltre che in 7,, secondo curve 

 K^ di 4° ordine e di P specie di un fascio <p, le quali hanno 

 in comune gli otto punti in cui la C. sega al di fuori della 7, 

 la F.-,: perciò questi punti Pj , . . . . P^ sono, come si era af- 

 fermato, i punti base di una rete B di quadriche. 



Ogni conica del sistema 1 si trova su di una quadrica di 

 questa rete P. 



Infatti una conica arbitraria 7'.^ di lì diversa da 7., ( la 

 quale già si sa che trovasi sulla quadrica F.^ della R) determina 

 con la 7., una supertìcie 11^ = ^^7,7'., della H che le contiene, 

 la quale appartenendo al fascio che ha per base le C^ , 7., 



sega la quadrica P, secondo una K^^ P^ Pg del fascio 



f, appoggiata in quattro punti alla 7., e perciò anche alla 7', , 

 che ha per corda la stessa retta della Q,^ (raggio della (0)) 

 che è corda della 7. Ne segue che la K^ e la ^/.^ appartengono 



ad una medesima quadrica P.,' = Pj Pg della rete R, che 



è quella di cui fa parola il teorema. 



Viceversa ogni quadrica Pg della rete R contiene una co- 

 nica y\ di 1. ■ 



Infatti la quadrica P„ ha in comune con la P, una cui'va 

 K^ del fascio « , la quale perciò appartiene ad una O3 = C^ 7, 

 della H. E la curva che con la X^ forma la sezione di tale su- 

 perficie Q3 con la P ., è una conica 7'.^ che ha per corda la stessa 

 retta o della Q.^ (raggio della (0)) che è corda della 7 e che di 

 conseguenza appartiene al sistema i. 



Dunque le coniche di 1 appartengono una ad una alle sin- 

 gole quadriche della R, e perciò viene ad aversi fra la stella di 

 piani (0) e la rete R una corrispondenza univoca II nella quale 



