UN SISTEMA LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 397 



6. I gruppi base delle varie reti di quadriclie generatrici 

 del sistema 2 sono i gruppi variabili di sezione della linea di- 

 rettrice C. con le quadriche passanti per una qualunque conica 

 y^ di l.. Ne segue che tali gruppi sono oo^ ed uno qualunque 

 di esso è determinato da quattro suoi punti. Si ha dunque che : 



Sopra una C„ gobba di genere 5 si ha una involuzione fon- 

 damentale di 8° ordine e di 4* specie, ogni gruppo della quale 

 è base di una rete di quadriche generatrici del sistema di coniche 

 che ha per direttrice la curva C^ . 



Se nelle due varietà a quattro dimensioni V^ , V'^ costituite 

 dalle quadriche che passano per due coniche assegnate y.^, y'^ del 

 sistema 1, si riguardano come corrispondenti due quadriche ap- 

 partenenti ad una stessa rete generatrice di 1, due quadriche cioè 

 la cui curva di sezione si appoggi alla C- in otto punti, le due 

 varietà risultano riferite omograficamente fra loro. 



Infatti una qualunque K^ delle curve di sezione accennate 

 che sia dovuta alle quadriche F., , F\ delle due varietà , avendo 

 quattro punti su ciascuna delle y.^ ' V '> ^^ otto sulla G, , appar- 

 tiene per intero alla superficie S.^ della rete S che contiene le 

 Yg, y'^, in modo che, quando la jP, varia in un fascio w della 

 V'^ avente per base le coniche y,,, d^, la K^ varia sulla S.^ nel 

 fascio che ha per base i punti P^, . . . P^ di sezione della 5, con 

 la S^ non situati su y,,, e di conseguenza la corrispondente qua- 

 drica Fj della V^ varia contenendo sempre i quattro punti 

 Pj , . . . P^ ora accennati e quindi descrive un secondo fascio f' 

 proiettivo al precedente avente per base una conica d^ che passa 

 per i punti P^ , . . . P^ e si appoggia in due punti alla y'.^, in 

 modo che alla superficie degenere dell' un fascio corrisponde la 

 superficie degenere dell'altro. 



E perciò la corrispondenza intercedente fra le F^, V'^ risulta 

 proiettiva. 



Ne segue che i gruppi G della C^ basi delle reti generatrici 

 del sistema 1 formano una varietà lineare W^ a quattro dimen- 

 sioni. Le varietà lineare ad una, a due, a tre dimensioni con- 

 tenute nella precedente, sono costituite dai gruppi G situati sulle 

 quadriche di un fascio, di una rete o di un sistema lineare triplo 

 avente per base una conica arbitraria del sistema 1. 



In particolare costituiscono una varietà lineare ad una , a 

 due a tre dimensioni i gruppi G, che contengono tre punti, 

 due punti o un punto assegnato della C^. 



