UN SISTEMA LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 399 



7. Assunte ad arbitrio due reti 72, R' generatrici di 1, le 

 corrispondenze proiettive che intercedono fra ciascuna di esse e 

 la stella di piani (O) danno origine ad una terza corrispondenza 

 proiettiva II, intercedente fra le due reti, nella quale due qua- 

 driche corrispondenti hanno in comune una conica di 1. 



Ora si vuol dimostiare che l'ulteriore sezione di due super- 

 ficie corrispondenti in tale proiettivi tà è una conica di un piano 

 completamente determinato dalle reti assunte E, R'. 



Infatti le coniche di ^il comuni alle superficie corrispondenti 

 di due fasci !i;, cp' delle R, R' appartengono ad una superficie S.^ 

 della rete H , sicché la superficie generata da tali fasci proiet- 

 tivi 9 , ©' contiene la aS!^ e di conseguenza anche un piano w, 

 sul quale si trovano le seconde coniche non appartenenti a 1 

 comuni alla superficie corrispondenti dei due fasci , cioè le curve 

 basi dei due fasci hanno in comune quattro punti del piano (» 

 e due superficie corrispondenti in essi passano per la stessa co- 

 nica contenente i detti punti. 



Perciò un punto qualunque P del piano w risulta la sezione 

 di due quadriche corrispondenti F , F' dei fasci o , cp'. Ma di 

 più esso trovasi sulle quadriche corrispondenti F^ , F^' delle due 

 reti, che hanno in comune la conica y di 1 passante per esso, 

 perciò risulta la sezione delle curve basi dei fasci corrispondenti 

 {FF^), [F'F^') delle reti R, R! \ e per essere il punto P un 

 punto arbitrario di w, ne segue che le curve basi di ogni coppia 

 di fasci corrispondenti delle P, P' hanno in comune quattro 

 punti del piano w in modo che la superficie 8^ che essi fasci 

 generano, si spezza in una ;iS^^ della rete H e nel piano w ; questo 

 cioè sega due superficie corrispondenti delle due reti P, P' se- 

 condo una medesima conica, ulteriore sezione (diversa da quella 

 di 2) delle due superficie. 



Diremo w piano dell'omografìa delle P, P'. 



Assunto ad arbitrio un piano w dello spazio ed una rete P 

 generatrice di 1 , considerando una quadrica arbitraria F della P 

 che contenga la conica 7 di 2! e la conica ^ del piano o), in ogni 

 rete R' generatrice di 1 che ammette come piano di omografia 

 con la P il piano oj, la quadrica F' corrispondente alla F deve 

 contenere le coniche '/, 5; e viceversa ogni quadrica F' del fascio 

 che ha per base le y, d appartiene ad una rete P' generatrice 

 di 2, il cui piano d'omografia con la P dovendo contenere la d 

 comune alle superficie corrispondenti F, F' , coincide con co. 



