UN SISTEMxY LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 403 



coniche degeneri dì 1 , i cui piani sono quelli comuni al cono F 

 ed al cono A del § 2. 



Se il cono r è razionale la corrispondente superficie S.^^ è 

 ornai oidica. 



Infatti riferito il cono T ( e perciò il sistema delle coniche 

 della S.^^) ad un fascio di piani (r) con corrispondenza univoca, 

 ed assunto un punto arbitrario 0' dello spazio diverso da e 

 non situato sull'asse r del fascio, si proietti ogni conica della S.:^^, 

 sul corrispondente piano del fascio (r). 



La superficie costituita dalle coniche proiezioni è una 

 aS'ji^^,, = P'*, e perciò risulta omaloidica; e siccome fra di essa 

 e la S.^ j, vi è corrispondenza univoca , perciò anche la S^ ^ è 

 omaloidica. 



Se invece il cono F non è razionale, la corrispondente su* 

 perfide non risulta omaloidica, perchè se cosi fosse, rappresen- 

 tata su di un piano, le sue coniche avrebbero per immagini le 

 curve di un fascio, il quale verrebbe ad essere riferito con cor^ 

 rispondenza univoca al cono l\ ciò che non può essere. 



Nel caso di ^o. = 2 , la superficie ;S^^ ^ r^ su cui si viene a 

 rappresentare la ;>S^ = CL' nel modo anzidetto, ammette per rette 

 doppie le sezioni d, d' dei due piani del cono V passanti per 0' 

 con i corrispondenti piani del fascio (r), contiene le 10 coppie 

 di rette j)jj>'^ , -..P^qI^'^q proiezioni delle coniche degeneri della <S',. ; 

 contiene le due rette q, q' secondo cui il piano r 0' sega il cono 

 che proietta da ' la corrispondente conica della S^ , ed ammette 

 come punto doppio il punto 0' perchè una retta uscente da 

 questo punto sega ulteriormente la superficie -^^ solo in punti 

 situati su coniche che sono le proiezioni di coniche della S^ a 

 cui essa retta si appoggia 



Sicché rappresentando la ^S'^ su di un piano 7. le curve 

 immagini delle sezioni piane della superficie risultano delle 

 C^ = A!'F^ . . . P^^^{DD'fgQ' , trovandosi i punti Q, Q' ( immagini 

 delle q , g;') su di una retta o' del fascio [A) immagine del punto 

 doppio 0\ sicché le sezioni della 5^; cou i piani della stella {0') 

 [le quali su la S^ corrispondono alle curve di sezione della S^ 

 con i piani della stella (t)')] risultano essere delle 



Ne segue che nella corrispondenza che viene ad aversi fra il piano a 

 e la Sq come prodotto di quella stabilita fra il piano (7 e la /S^ 



