UN SISTEMA LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 405 



In generale le coniche di 1 appoggiate ad una curva C^ avente 

 in comune con la C^ u punti, non tenendo calcolo della -S'^ della H 

 per le quali questi punti sono doppii , è di ordine -'^(3// — r^). 

 I piani delle coniche generatrici costituiscono nella stella (0) 

 un cono di classe 3 jj. — v . 



11. Nel caso più generale in cui la linea direttrice C'_ del 

 sistema 1 non si spezza e passa semplicemente pel punto 0, non 

 si può coordinare ad ogni conica del sistema 1 un solo suo 

 punto, perchè se ciò fosse possibile, la superficie luogo di tali 

 punti avrebbe in comune con una qualunque conica y del si- 

 stema 1, al di fuori della C,, l'unico punto coordinato alla y, 

 ciò che è assurdo perchè i sei punti comuni a questa ed alla C_ 

 contano per un numero pari o nullo di punti semplici di sezione. 



Ne segue che nell'ipotesi anzidetta non esiste alcuna corri- 

 spondenza birazionale tra due sistemi dello spazio nella quale le 

 coniche del sistema 1 abbiano per corrispondenti le rette di una 

 stella, perchè se tale corrispondenza esistesse ad un piano del se- 

 condo sistema corrisponderebbe nel primo una superficie che avrebbe 

 in comune, al di fuori della C-, un punto con ogni conica del 

 sistema 1 . 



Esistono invece corrispondenze birazionali dello spazio nelle 

 quali si corrispondono fra loro due sistemi di coniche 2S. 



Fra tali corrispondenze noi studieremo quelle involutorie in 

 cui ogni conica del sistema è coniugata a se stessa. 



Un qualunque J di tali corrispondenze determina su di una 

 conica arbitraria 7 di /. un'involuzione ordinaria. Ora, tre casi 

 possono darsi: il centro di tale involuzione qualunque sia la y, 

 coincide con 0, col variare della y esso descrive in un piano « 

 della stella (0) una curva C^^0^~^ in modo che ogni punto G 

 di tale curva è coordinato a tutte le coniche y che hanno per 

 corda la retta OG: col variare della y in 1 il punto G de- 

 scrive una superficie S„, . 



1° Nell'involuzione J che si ottiene nel primo caso, ogni 

 retta r della stella (0) è coniugata a se stessa con un'involu- 

 zione ordinaria che non ha, in generale, per elemento doppio il 

 punto 0, sicché la J è una delle trasformazioni studiate dal De- 

 Paolis (*) ed è di 1'^ classe e di 1''^ specie secondo la classifica- 

 zione dello stesso geometra. 



(*) Alcune particolari trasformazioni involutorie nello spazio (Rendiconti 

 dell'Accademia dei Lincei, Serie IV, voi. 1, pag. 735). 



