408 D. MONTESANO 



So^P~ della S con il cono di T che ha per vertice P, sicché 

 se (j. è il grado del complesso F e di conseguenza è p.-ì la mul- 

 tiplicità dei raggi della stella (0) in F, la curva in quistione è 

 di ordine 2a+l con a+1 rami passanti per P. 



Ne segue che la superficie punteggiata unita della trasfor- 

 mazione passa con fJ.-1-l falde per la C^; e siccome ogni co- 

 nica del sistema 1 al di fuori della C„ ha due punti in comune 

 con tale superficie, questa perciò risulta una JJ^^^^^C.f''^^ 



In un piano arbitrario oo dello spazio le coppie di punti non 

 coincidenti della J sono le coppie dell'involuzione I^ del § 3 si- 

 tuati su i raggi del complesso F, e siccome in cì; le congiuugenti 

 i punti di una retta r arbitraria ai coniugati nella J^ formano 

 un inviluppo di 3'"^ classe, perciò le coppie in quistione formano 

 una curva di ordine 3^0., la quale con la curva ^«31^^^= (i[X,|^^^go) 

 forma la sezione del piano w con la superficie che gli corrisponde 

 nella J. Questa perciò è di grado 6 a + 4. 



Nella corrispondenza birazionale e prospettiva che intercede fra 

 i piani della stella (0) ed i punti della superficie S„^, nella quale 

 due elementi corrispondenti sono sostegni di un fascio del com- 

 plesso r, ai piani di un fascio (r) della [0] corrisponle una curva 

 di ordine u. della aS'„, avente sulla r a -1 punti (dei quali alcuni 

 possono coincidere in 0), perchè il cono che proietta tale curva 

 da un punto arbitrario P della r, è il cono del complesso di ver- 

 tice P. 



Ne segue che nella corrispondenza anzidetta ad una curva 

 piana della ^S*,,, corrisponde nella stella (0) un cono inviluppo 

 G^^a^' , . . 0-/'' . . . (essendo ir^lò~=^m) avendo indicato con 

 (7/, un piano della stella (0) a cui corrisponde non un punto della 

 8„ ma una curva C,.^ di ordine Sj^ giacente in tale piano. Perciò 

 tutte le rette del piano a^ sono raggi multipli secondo s^ pel 

 complesso V e la conica '1^ del sistema ^ giacente nel piano a^ 

 è coniugata a se stessa nella J con 00^ involuzioni aventi i centri 

 sulla Csi^ cioè la y,. corrisponde per intero s,^ volte ad ogni suo 

 punto, e quindi è linea fondamentale 2 s^-pla di 2^ specie per la J. 



Fra le coniche del sistema ^ ve ne sono 00^ su le quali la J 

 determina un'involuzione degenere, in modo che una qualunque 

 di tali coniche corrisponde per intero al suo punto P centro del- 

 l'involuzione degenere di cui essa è sostegno. 



Il luogo di tali punti P è una curva fondamentale doppia 

 C^ di 1''^ specie, per la J. Questa curva C^ incontra ogni conica 



