UN SISTEBIA LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 409 



fondamentale -p nei 2%, punti comuni alla y,, ed alla curva C, 

 che nella S",,, corrisponde al piano 7/, della '/,, , sicché il cono co- 

 stituito dai piani delle coniche di Z coniugate ai punti della C^ 

 ammette come piani multipli secondo 2s^ , ... 2.?^ ... i piani Cj ... 7,,... 



Per dedurre la classe di questo cono si noti che essendo r una 

 retta arbitraria dolla stella [0) i centri delle involuzioni che la J 

 determina sulle coniche del sistema ^ situate nei piani (lel fascio [r] 

 e perciò sulla S^^rC„, costituiscono la curva C^^ che sulla su- 

 perficie S„, corrisponde al fascio (r) della (0), sicché i 2[j.-\-l 

 punti in cui tale C^ sega al di fuori della r la S„-:^C^r sono 

 centri di involuzioni degeneri dovute alla J sulle coniche del si- 

 stema - passanti per essi. Vi sono dunque 2^7,-f-l piani passanti per 

 la r, sostegni di coniche di 1 su cui la J determina involuzioni 

 degeneri, cioè l'inviluppo dei piani in quistione é di classe 2p. + 1. 



Ne segue che esistono 5(2/7,-4-l) coniche degeneri, ognuna delle 

 quali é costituita da due rette t-,t- che sono coniugate fra loro 

 nella J con corrispondenza prospettiva, il cui centro P, é situato 

 su una di esse f^, sicché tale retta /, corrisponde nella t7 per in- 

 tero ad ogni suo punto. Né oltre le C.^ , C^ , Yj , . . . 7^ , . . . ^^ , . . . 

 ^5(2n+i) g'^ accennatela tT ammette altre linee fondamentali, sicché 

 in essa ai piani dello spazio sono coniugate delle 



Due qualunque di queste superficie hanno in comune oltre le 

 linee fondamentali una curva variabile di ordine 6/i,+4, sicché si ha 



(6a+4)'-7(2a + l)2-4?; — 8l52-5(2/j.+l) = 6^.+ 4 



da cui si deduce 



vr= 2 iJ?^iJ.— 21 s~ = 2 tn-{-[j.. 



La Jacobiana delle é costituita dalle 



C' — P ^V-+^ ri 6 ^, 6s ., Cys, / 3 / 3 



^9(2lx+.)='^7 '^V /l ••••//» '' ' ■ • 'i • • • ^5 (.^L + O» 



coniugate rispettivamente alle C,, , C^ e la superficie punteggiata 

 unita è una U.^^, ^ ^=C^^+'< C^y^'i .. 7,//, ... ^^ ... ^.(^^^.^ . Questa su- 

 perficie contiene evidentemente anche la curva doppia jff.„ della 

 superficie delle trisecanti della C^ , le quali a due a due si cor- 

 rispondono con proiettività prospettiva nella J, 



