410 D, MONTESANO 



12. Se in una trasformazione involutoria X dello spazio le 

 coppie di punti coniugati sono su i raggi di un complesso F co- 

 stituito da co^ fasci di raggi aventi per centri i punti di una su- 

 perficie S„, e situati nei piani di una stella (0), la quale perciò 

 risulta costituita da raggi {[i — l)-pli del complesso, due casi pos- 

 sono darsi : o le coppie di punti della X situate su un qualunque 

 fascio (D — ò) del complesso appartengono ad una cubica C^ pas- 

 sante pel centro D del fascio, o esse costituiscono una conica C^ 

 non passante per tale centro D. Tanto il sistema delle C^ nel 

 primo caso come il sistema delle C, nel secondo è si fatto che 

 una sola sua linea passa per un punto arbitrario dello spazio ed 

 una sola linea si trova in un qualunque piano della stella (0), 

 sicché nel secondo caso il sistema delle coniche C.^ è del tipo 

 studiato in questa Nota, e la trasformazione involutoria X risulta 

 essere una trasformazione J del 3° tipo studiata nel § precedente. 



Nel primo caso invece il sistema 2' delle C^ è costituito 

 dalle basi variabili di una rete di superficie di 4*^ ordine avente 

 per base una linea di 1 3° ordine ; ne si ha il sistema più ge- 

 nerale di tale natura ma si presenta per esso la particolarità 

 che fra le sue curve ed i punti P della S,,^ vi è una corrispondenza 

 univoca e prospettiva. Questa particolarità determina senz'altro 

 il sistema 2' , la S„, ed il corrispondente complesso T che non è 

 quello più generale soddisfacente alla condizione già imposta di 

 ammettere una stella di raggi (/jl — l)-pli, ma ammette ulteriori 

 particolarità. 



Ne segue che in una trasformazione birazionale involutoria 

 dello spazio le cui coppie di punti coniugati siano su i raggi di 

 un complesso F^ dotato di una stella di raggi (a — l)-pli ma non 

 soddisfacente ad ulteriori particolarità, risultano unite le superficie 

 di 3° ordine di una rete avente per base una C^ di genere 5. 



Le coppie di una siffatta trasformazione J possono essere rife- 

 rite con corrispondenza univoca ai punti dello spazio ordinario. 

 Assunta infatti una cubica gobba H.^ che passi pel centro della 

 st'^lla di raggi (a — 1 )-pli del complesso F determinato dalla J, 

 basta riguardare come corrispondente ad una coppia qualunque 

 P P' della J quel punto P„ in cui la retta P P' sega la corda 

 della Hr^ non uscente da situata nel piano OPP', perchè con 

 ciò viceversa ad un punto arbitrario P^ dello spazio situato sulla 

 corda c„ della H^ viene a corrispondere quell'unica coppia P P' 

 della J che si trova nel piano Oc^ allineata con Pg. 



