UN SISTEMA LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 411 



13. Il sistema 1 di coniche studiato nei precedenti paragrafi 

 determina una corrispondenza degna di nota fra i punti e le rette 

 dello spazio, la quale si ottiene assumendo come corrispondente 

 di una retta arbitraria r dello spazio il suo polo Ti rispetto alla 

 conica Y di - che è nel piano Or. Viceversa ad un punto ar- 

 bitrario E vengono a corrispondere le evo' rette r polari di B 

 rispetto alle coniche di 1 situate nei piani del fascio che ha per 

 asse la r' :^ R, le quali rette appartengono alla quadrica po- 

 lare del punto E rispetto alla S^ = r' C^ e perciò costituiscono 

 una schiera rigata p che ha per direttrice la r'. 



Dunque la corrispondenza X in quistione intercede fra lo 

 spazio punteggiato ed un sistema oo^ di schiere rigate, godente 

 la proprietà notevolissima che una retta arbitraria dello spazio 

 appartiene ad una sola di tali schiere. 



E si ha ancora che: Se la quadrica sostegno della schiera 

 rigata che corrisponde nella X ad un punto P passa pel punto 

 P', viceversa la quadrica sostegno della schiera rigata che cor- 

 risponde a P' passa per P. 



Infatti in tale caso i punti P, P' risultano fra loro reciproci 

 rispetto alla conica del sistema 2 che trovasi nel piano OPP'. 



Il punto è elemento eccezionale per la corrispondenza X 

 avendo per corrispondenti tutte le corde della cubica gobba C^ 

 del § 9. Di piti se r' è un qualunque raggio della stella (0) e su 

 di esso 2), P' sono i due punti doppi dell'involuzione determinata 

 dalle coniche del sistema 2 che hanno per corda la r' (punti che 

 appartengono alla superficie Q^ del § 11, P), rispetto alle coniche 

 accennate essi punti D, D' risultano reciproci fra loro, sicché la 

 schiera rigata p [o p') che corrisponde a P (o P') nella X risulta 

 un cono quadrico di vertice B' (o P), e la cubica gobba y^ che 

 con la r' forma la sezione di tali coni p, p risulta il luogo dei 

 poli della r' rispetto alle coniche di 2 che l'hanno per corda, 

 risulta perciò la curva coniugata alla retta r' nella corrispondenza 

 X, in modo che ogni altro punto della r' ha per corrispondente 

 nella X una schiera rigata situata su di una quadrica che ap- 

 partiene al fascio che ha per base le r', '/g . 



La Yg contiene i cinque punti della H^^ in cui si segano a 

 due a due le trisecanti della G^ appoggiate alla r . Essa incontra 

 del pari in 5 punti la cubica Cg, perchè fra le quadriche del 

 fascio (*"' Vg) ; polari dei punti della »' rispetto alla /S'g^r'C, vi 

 è la quadrica 1., = >' Cg polare di 0, e su questa la r' è segante 

 semplice della C^ ed è corda della -/g. 



