UN SISTEMA LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 413 



coniugate nella X ai due punti in cui la quadrica sostegno della 

 schiera coniugata a P sega la s. E la v risulta riferita proiet- 

 tivamente al t'ascio e in modo che la superficie generata dalle due 

 forme si spezza nel piano o) e nella superficie iì costituita dalle cu- 

 biche gobbe coniugate nella X ai raggi del fascio (C — co). Que- 

 st'ultima superficie è perciò di 5" ordine, ha per linea doppia la 

 C, e per linea scmpli' e la retta o già accennata e le dieci rette 

 della congruenza l . j,, coniugate nella X ai dieci raggi della 

 stessa congruenza situati nel piano co {*). Di più la il contiene 

 la curva //^i essendo questa incontrata in quintuple di punti va- 

 riabili dalle singole cubiche generatrici della superficie. Sicché ai 

 piani co di un fascio (r') corrispondono superficie ii. le quali hanno 

 in comune la C.^ doppia, la H^^ e la y 3 coniugata alla r', e che 

 perciò appartengono ad un fascio. 



Di conseguenza variando il piano q nella (0) la corrispon- 

 dente superficie descrive una rete e ne segue il teorema. 



14. 1° Alle rette di una stella arbitraria (P) dello spazio 

 sono coniugati nella X i punti della quadrica /., che contiene 

 la schiera rigata p coniugata nella X al punto P (paragrafo 

 precedente). 



Sulla /, si trovano, oltre la r' = OP e la y^ che le è coniu- 

 gata nella X, i raggi e\,...e'.^ della congruenza l\ ^„ coniu- 

 gati nella X alle rette e^,...e. della P, ^^ uscenti da P. 



Le e'j , - . . e'.^ appartengono alla schiera p e la r' alla schiera 

 rigata p' incidente alla p ; e mentre i punti di una generatrice 

 arbitraria g della p sono coniugati nella X ai raggi della (P) 

 situati nel piano a^r'g, invece i punti di una retta d della 

 schiera p' corrispondono nella X ai raggi della (P) formanti un 

 cono Fg = r* e'^. . . e'.. Infatti ogni piano n del fascio (r) con- 

 tiene uno solo q di tali raggi che è la polare del punto L ^^ dn 

 rispetto alla conica di 2 giacente in n, e q coincide con r' nei due 

 piani TT che passano per i punti y^d, come coincide rispettiva- 

 mente con e\ , . . . e'- nei piani rr che passano per i punti 

 de, .... de. . 



(*) È la nota superficie studiata dal Gli;bsch ( Ueber die Abbildung al- 

 gebraisciier Flachen insbesondere der vierten und fDnften Ordnung, Mathj 

 Annalen, Rd. 1) e dallo Sturm (Ueber die Fl'àchen mit einer endlicheu Zahl 

 yen (einfachen) Geraden-Math-Aniialen-Bd. IV); ecc., ecc. 



