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Ne segue che ai raggi di un fascio arbitrario (P — w) della 

 stella (P) corrispondono nella X i punti di una curva razionale 

 C della X, che ha per secanti semplici i raggi della p e per 

 trisecanti quelli della p' , e che perciò risulta di 4" ordine e di 

 2^ specie. 



Col variare del piano w nella (P) la corrispondente curva C^ 

 descrive una rete omaloidica sulla I,, avente per base i cinque punti 

 e, e', ... , e^ e. della curva H,,, . 



11' 5 i) 10 



2° Alle rette di un piano arbitrario o; dello spazio sono 

 coniugati nella X i punti di una superficie omaloide di 6" ordine. 



Infatti fra i punti di tale superficie Q e i piani della stella 

 (0) viene ad aversi una corrispondenza univoca e prospettiva ri- 

 guardando come corrispondente ad un piano t: della (0) il punto 

 R della Q coniugato nella X alla retta r^Ku. In tale corri- 

 spondenza ai piani ti di un fascio (r) corrispondono i punti P 

 di una curva di 4^* ordine appoggiata in tre punti alla r, sicché 

 viceversa ai punti di una curva piana della 0. corrispondono i 

 piani di un cono F di A^ classe. E siccome i piani eccezionali 

 della corrispondenza sono semplicemente i 10 piani che proiet- 

 tano da le 10 rette r, , . . . . e,,, della congruenza F. ,,, si- 



1 10 '-' LI • 10 



tuati in 7T, ciascuno dei quali ha per corrispondente nella 1.1 una 

 retta ?',, e di conseguenza appartiene come piano semplice ad ogni 

 cono F^, perciò il numero dei piani variabili comuni a due di 

 tali coni, che è l'ordine della Q, risulta essere 6. 



E la 12 ha in un punto triplo, essendovi nel piano w tre 

 corde della cubica gobba C^ del § 9. 



La superficie Q.^^ 0' t. . . . t^ luogo dei punti aventi per co- 

 niugati nella X dei coni quadrici, sega il piano w secondo una 

 curva 7^, che viene proiettata da secondo un cono X'^^ O^t^... ^-, 

 il quale oltre di ha in comune con la Q^ una curva H^ = 0^ 

 di genere tre. 



Ora è agevole riconoscere che questa linea H. è doppia per 

 la superficie Ù^^. 



Infatti ad un punto arbitrario D della H^ è coniugato nella 

 X un cono quadrico avente per vertice il punto D' della ^^ si- 

 tuato sul raggio OD, sicché vi sono due rette in w (generatrici 

 del cono anzidetto) che hanno per coniugato nella X il punto D^ 

 il quale perciò é doppio per la 0^. 



