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Per ognuno dei punti 0, A, P^ , ... P^ passano co' raggi 

 della ^.,^(., e già ci è noto che quelli passanti per P^, . . . P^. 

 costituiscono coni di 3° ordine aventi rispettivamente per raggi 

 doppii i raggi P^, . . . OP^ che sono doppii per la congruenza, 

 mentre quelli passanti per A costituiscono il fascio di raggi che 

 ha per sostegno il piano delle rette OA,a. 



E siccome fra le cubiche coniugate ai raggi di un fascio 

 {0 — (w) della stella (0) cinque ve ne sono che si appoggiano ad 

 una retta arbitraria, sicché viceversa fra le sclùere rigate coniu- 

 gate ai punti di una retta a cinque ve ne sono che contengono 

 un raggio del fascio (0 — c^), perciò il cono dei raggi della Q2,q 

 che ha per vertice il punto è di 5*^ ordine ed ha per raggi 

 doppii i raggi OP^, . . . OP^. . 



La ^., g è perciò di 2^ specie (*). 



Gli altri suoi quattro punti singolari (vertici di coni di 2° 

 grado) sono i punti A^ , . . . A^ del piano u^^OA-a, in culle 

 quattro rette che proiettano da i punti di sezione della a con le 

 superficie ii^=0^ del § 11, 1°) segano ulteriormente tale superficie. 



La superficie focale della congruenza risulta il luogo dei punti, 

 a cui sono coniugati nella X delle schiere rigate situate su qua- 

 driche tangenti alla retta a. 



Con ciò si è al caso di determinare le caratteristiche elemen- 

 tari delle quadriche sostegni delle schiere rigate coniugate nella 

 X ai punti dello spazio; come può determinarsi mediante le note 

 formolo di Zeuten il grado del complesso di rette che nella X 

 corrisponde ad una superficie assegnata o l'ordine della superficie 

 che nella X corrisponde ad una congruenza di raggi. 



15. Può succedere che la linea C_ direttrice del sistema 2ii 

 si spezzi in due o più parti. Senza alcuna difficoltà, servendosi 

 all'uopo della rappresentazione di una S.^ = C„ su di un piano, 

 può stabilirsi nei singoli casi su quale delle linee in cui la C_ 

 si scinde, viene a trovarsi il punto 0, e come si distribuiscono 

 su tali linee gli otto punti base di una qualunque rete di qua- 

 driche generatrici del sistema 1. 



Ha maggiore importanza il caso in cui le superficie di 3^ or- 



(*) KuMMEft, Ueber die algebraischen Strahlensyslem u. Si w, Monatsbe- 

 ridite Ak. Berlin, 1860, i l2. 



