UN SISTEMA LINEARE DI CONICHE NELLO SPAZIO 417 



dine, che formano la rete che ha per base la C, . sono dotate 

 di un punto doppio, il quale allora risulta il centro (klla sLelia 

 di piani generatrice del sistema 2ii ed è uno dei punti base di ogni 

 rete di quadriche generatrici di ^, sicché trovasi su ogni conica 

 di 2 ed è triplo per la linea direttrice C. del sistema la quale 

 risulta di genere 3 , ed ha in comune , oltre di 0, quattro punti 

 con ogni conica 1. 



In tale caso può stabilirsi una trasformazione birazionale 

 dello spazio nella quale al sistema 1 corrisponde una stella (0) 

 di rette. 



Stabilita infatti una corrispondenza birazionale nulla ^ fra i 

 piani ed i raggi della stella (0) (*) , si consideri per ogni co- 

 nica Y del sistema 2 il suo punto di sezione G, diverso da 0, 

 con il raggio o della [0) che nella / corrisponde al piano w della 

 y. La superficie luogo dei punti G risulta un monoide di ver- 

 tice 0, che passa semplicemente per la C.; e siccome col variare 

 di in un piano n della (0), il piano w descrive un cono qua- 

 drico tangente al piano ti. e la conica 7 una superficie di 6° or- 

 dine che ha in comune col piano ti, oltre ad una conica -y, la 

 linea di sezione col monoide '!>, perciò questo risulta di 4" ordine. 



I tre raggi fondamentali della / sono rette semplici della $ 

 non appoggiati alla C- ; invece le altre nove rette della super- 

 ficie uscenti da incontrano ciascuna in un punto la C„. 



Ora si consideri nella stella (0) il sistema delle reciprocità bi- 

 razionali nulle ^ nelle quali ad un fascio di raggi assegnati (0 — 7:) 

 corrisponde un cono inviluppo assegnato V^ della (0) tangente a n. 



Tale sistema è ^ineare ed oo^ e due qualunque sue corrispon- 

 denze hanno un'u jca coppia di elementi corrispondenti in co- 

 mune (**), sicché gli <^^ monoidi <P dovuti a tali corrispondenze 



(*) Veg. Sturm, Ueber die reciproken und mitihii zusammenhangenden 

 Verwandtschaften (Math. Annalen, Bd. 19, pag. 474). 



{**] Infatti una reciprocità birazionale nulla in una stella è completamente 

 determinata da sette coppie di elementi corrispondenti affatto arbitrarie. 



Ora l'assegnare di un piano ir il corrispondente cono V^ tangente a 7t 

 lungo la retta p, significa assegnare le quattro coppie Pt^, Pi^jìPa'^a» Ps^s' 

 avendo indicato con ttj, ttj, Ttg tre piani arbitrari! del fascio (p) e con p^, p^, 

 Pg, le loro sezioni diverse da p con il cono Tg, sicché le reciprocità nulle in 

 cui TT e r si corrispondono, formano una varietà lineare cxd^. 



. Due qualunque x, "/.' di esse hanno 00* coppie in comune i cui elementi 

 costituiscono un cono di raggi di 3" ordine, che si spezza nel piano n ed in 



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