SUL PROBLEMA DELLE ONDE PIANE 467 



la direzione che è nel piano dell'onda, a novanta gradi dalla 

 («j , 6j , Ci) , se cioè poniamo : 



aì = pt Ci — 7 hi 

 hi =7(7i — aCi 



è facile vedere che si verifica per identità la relazione : 



a. h. e. 



(11 ... - .f/, + - .h.+ -c. = . 



Infatti («2, &2 , Ci) e la direzione del vettore (L, M, N), quando 

 si prende per il vettore (fjX, s^Y, SgZ) la direzione («i, &i, Cj) 



(equazioni 1, 3, 4). Nella stessa ipotesi — , — ,— sono propor- 

 li ^2 ^3 



zionali ai coseni di direzione di {X, Y, Z) , ma quest'ultimo 

 vettore è perpendicolare ad (L, M, N) per le equazioni (2). 



Ciò posto, se si trasforma la (11) tenendo conto delle re- 

 lazioni che legano le a , [3 , y fra loro e con le «i , /?i , e, si 

 può con calcoli semplicissimi, per quanto un po' sviluppati, ar- 

 rivare ad una qualunque delle identità: 



7 7 ^» 7 7 ^» 



'h + «1 — = if" -i-K^T 



di Di 



7 1^-1 7 ^* 



^2 + AJj — = Wj + A-3 — 



bi Ci 



K + ^3 - ^^1 + ^1 — . 



Cj Oli 



Se ne deduce che la terna a^ , &j , Cj dà sempre una dire- 

 zione possibile del vettore (fjX, Sj Y, S3Z). 



Ma alla terna soddisfacente a,, è^, e, dovendo corrispondere 

 una radice reale della (10), ne segue che quest'equazione ha due 

 radici reali e quindi le ha reali tutte tre. 



Alla terza radice dell'equazione in corrisponderà una nuova 

 terna di coseni 0,, , h^ , 6*3 . 



