UNA CONGRUENZA DI RETTE DI SECONDO ORDINE 597 



Sono del pari coniugati nella I due spigoli opposti del te- 

 traedro, cioè a due a due nella I sono coniugate le corde della 

 curva K^ , e due corde coniugate si appoggiano alla curva in 

 punti costituenti un gruppo dell'involuzione fondamentale. 



Nella 1 sono uniti i punti base U^,. . .U^ della rete R e 

 le rette che uniscono a due a due tali punti, le quali sono 

 corde della K^. 



Ora, escludendo il caso che le quadriche della rete R ab- 

 biano in comune una linea e che le polarità dovute ad esse ab- 

 biano una coppia di elementi corrispondenti in comune, ogni 

 spezzamento della K^^ compatibile con le esclusioni ora fatte, sarà 

 tale ghe le due linee 1, /', che prese assieme formano in esso 

 la curva nodale K^. della rete R, risultano la base di un 

 sistema omaloidico di superficie di 3*^ ordine, che ammette per 

 sistema connesso un sistema omaloidico della stessa natura, ne 

 sarà possibile che una delle linee ),, )/ sia una cubica piana o 

 che una di esse sia una curva di 5*^ ordine di genere e l'altra 

 sia una retta quatrisecante della precedente, e ciò perchè per le 

 esclusioni fatte, nell'involuzione I che la rete R determina e che 

 ammette per linee fondamentali le )., /.', non vi è alcun punto 

 che abbia per coniugato un piano, non vi è alcuna retta che sia 

 coniugata ad ogni suo punto, ne vi sono due rette di cui una 

 sia coniugata per intero ai punti dell'altra. 



Perciò nelle ipotesi fatte la K^^ può spezzarsi semplicemente (1) 

 in una K. gobba di genere 2 ed in una sua corda, o in una 

 K^ gobba di 2^ specie ed in una conica K^ appoggiata alla 

 precedente in quattro punti, o in due cubiche gobbe aventi in 

 comune quattro punti. 



Non è possibile il secondo spezzamento perchè ove mai avesse 

 luogo, la lacobiana delle superficie 0^ coniugate nell'involuzione / 

 ai piani dello spazio, risulterebbe costituita dalle superficie 7^= -S^^i 

 7,,= Z'^^7C^ che nella 7 corrisponderebbero rispettivamente alle 

 K.^, K^, sicché a due a due risulterebbero coniugate nella 7 le 

 corde della K^, il che è assurdo, non potendovi essere alcun fa- 

 scio della rete R costituito da quadriche aventi per tetraedro 

 autoreciproco comune un tetraedro i cui vertici siano tutti 

 sulla K„. 



(1) Yegg. NÒTHKR, Eindeutige Raumtransformationen, Math. Anaalen, 

 Bd. 3. 



