UNA CONGRUENZA DI RETTE PI SECONDO ORDINE 607 



piano 7 ad una dello stelle (T), (2'ì, per es. alla (T), e riguar- 

 dare come corrispondente ad un punto arbitrario P di cr quel- 

 l'unico raggio r della congruenza non uscente da T che trovasi 

 nel piano n della stella (T) corrispondente di P nella X. 



Sono eccezionali per la corrispondenza i punti D, E, del 

 piano 7 che nella X corrispondono ai piani singolari o', e, co 

 della L.^^, risultando essi rispettivamente l'immagine dei tre 

 fasci di'raggi {K-ò'), (K'-s), {T'-rS) della i,,^. 



I coni della congruenza aventi i vertici sulla y sono rap- 

 presentati dalle rette del fascio (0): le schiere rigate del si- 

 stema H dai raggi del fascio [E), e quelle del sistema E' dai 

 raggi del fascio (Z)). 



Di più, siccome in ogni piano passante per la t due raggi della 

 Z, ^ coincidono in un raggio del fascio {T-'jì), perciò questo ha 

 per immagine su a la retta DE che nella X corrisponde alla t. 



E egualmente agevole riconoscere che' i due fasci [K-o), {K'-^) 

 sono rappresentati dalle rette D 0, E 0. 



Ogni retta del piano 7 è la immagine di una superficie gobba 

 di 3° grado avente per direttrice doppia una retta della stella (T), 

 sicché una qualunque superficie S^. = (y SS^ S'S^'f {T T'f costi- 

 tuita dai raggi che la congruenza ha in comune con un com- 

 plesso lineare, ha per immagine sul piano di rappresentazione e 

 una C^=DEO. 



Ne segue che il rango della L^^ (numero delle coppie di 

 raggi della congruenza appartenenti ad un medesimo fascio con 

 una retta arbitraria) è 2. 



7. Una qualunque trasformazione quadratica dello spazio che 

 abbia per elementi fondamentali nell'un sistema la conica y ed 

 un punto arbitrario 0, e nell'altro sistema una conica y* ed 

 un punto 0*, facendo corrispondere ad ogni retta del primo si- 

 stema appoggiata alla y, una retta del secondo sistema appog- 

 giata alla 7*, muta la congruenza L.,^ in una congruenza Z*,^ 

 di egual tipo, la quale ammette come elementi singolari la y* 

 ed i sei punti che corrispondono nella Q ai quattro punti sin- 

 golari isolati della L^ ^ ed ai due raggi di questa congruenza 

 che escono dal punto fondamentale della 0. 



Ma se questo punto coincide con uno dei quattro punti 

 S, S^, S',S^' per es. con S, alle schiere rigate della L^ ^ le cui 

 quadriche sostegno passano per i punti S, S^ , vengono a corri- 



