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spendere nella fasci di raggi aventi per centri i singoli punti 

 della conica fondamentale 7* e situati nei piani di un cono in- 

 viluppo di 2* classe 7., , di cui è vertice il punto S^* che nella 



corrisponde ad S^ , sicché la congruenza X* che nella cor- 

 risponde alla L essendo costituita dai fasci anzidetti, risulta di 

 2° ordine e di 2* classe, e la sua superficie focale riguardata come 

 superficie di punti è il cono di raggi 0^ aderente ad 7, superficie 

 che ha due contatti con la ■/ dovuti ai due piani che nella 

 corrispondono ai coni della L.^^ che da S\ S^' proiettano la y. 



Corrispondentemente la superficie focale della congruenza L,,^ 

 che corrisponde nella al cono ^ì'^, è una 0^ = (7 S S\ S' S^'f che 

 contiene i lati del quadrilatero SS'S^S^' ed ammette per piani 

 tangenti doppii i piani ùo, cS (1). 



Questa superficie <^^ è superficie focale, oltre che della con- 

 gruenza 7j^, di una seconda congruenza di ej,ual tipo M.^ ^, che 

 corrisponde nella alla congruenza M^ J^ che con la X,,2* forma 

 il completo sistema delle tangenti al cono $2 appoggiate alla 7*. 



1 coni della M^^^, che hanno i vertici sulla 7, passano per i 

 punti K, K' , S , S^, S', S^ e nei primi due toccano le rette 

 k = dò' JJ = £e' , e fra di essi quelli che hanno i vertici in T e T', 

 si spezzano nelle coppie di piani òs, ò'z. 



E notando che i due piani sostegni dei fasci di raggi delle 

 congruenze L*, M* che hanno per centro un punto arbitrario A 

 della 7*, segano, oltre che in A, questa linea in due punti che 

 corrispondono ad A in due proiettività II, II"' della 7* inverse 

 l'una dell'altra, sicché ogni omologia armonica che abbia il 

 centro su la corda di contatto del cono $g con la 7* e per 

 piano assiale il piano polare del precedente punto rispetto a «Pg, 

 fa corrispondere l'una all'altra le congruenze 7*, M*, perciò 

 prendendo egualmente in considerazione invece della una tra- 

 sformazione quadratica 0' dello spazio che ammetta nell'un si- 

 stema per elementi fondamentali la conica 7 ed uno dei punti 

 S', S\, può affermarsi che: 



I due sistemi 00^ 1 e 1' di trasformazioni quadratiche invo- 



(1) È la ben nota superficie di 4° ordine e di 4* classe, che se la conica 

 •/ è Vassoluto risulta la ciclide di Dupin, Vegg. per essa i recenti lavori sulle 

 superficie di 4" ordine a conica doppia del Loria {Memorie della R. Acca- 

 demia di Torino, Serie 2% Tomo 36, § 71 e 72) e del Segre {Math. Annalen. 

 Bd. 24, n° 116). 



