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facendo astrazione dal numero delle dimensioni degli spazi con- 

 siderati, rimangono ancora perfettamente : la geometria proiettiva 

 dello spazio di rette e dei complessi lineari di queste corrisponde 

 perfettamente alla geometria delle inversioni dello spazio ordinario 

 di punti e delle sfere. La ragione intima di queste analogie sta nel 

 fatto che tanto l'una quanto l'altra geometria equivalgono alla 

 geometria di uno spazio lineare risp. a 5 ed a 4 dimensioni , in 

 cui il gruppo fondamentale di trasformazioni consta delle tras- 

 formazioni lineari che non mutano una quadrica fissa non de- 

 genere risp. a 4 ed a 3 dimensioni, la quale nell'un caso ha 

 per elemento ciò che si suol chiamare retta, nell'altro caso ciò 

 che si suol chiamare punto. In altri termini quelle due geometrie 

 non sono altro che le geometrie metriche di spazi lineari risp. 

 a 5 ed a 4 dimensioni, quando in ciascuno di questi spazi si 

 prenda per assoluto una quadrica non specializzata. In questo 

 modo si vede anche che se si considera Vangolo (o distatila) 

 di due complessi lineari colla quadrica di rette per assoluto , 

 vale a dire coli "introduzione del rapporto anarmonico determi- 

 nato da due tali complessi coi due complessi speciali del loro 

 fascio, a questo angolo corrisponde appunto Vangolo di due sfere 

 inteso nel senso ordinario, poiché è noto (*) che quest'angolo 

 corrisponde appunto all'assumere per assoluto nello spazio di sfere 

 la quadrica dei punti-sfere. 



Ma la ricerca di analogie tra le geometrie metriche ordi- 

 narie (euclidee) delle rette e dei punti non pare che finora sia 

 stata fatta; eppure tali analogie esistono e non sono meno no- 

 tevoli che quelle dianzi accennate tra la geometria proiettiva 

 delle rette e la geometria delle inversioni dei punti. Noi ci pro- 

 poniamo appunto di mostrarle in questa nota: vedremo come 

 esse siano tali che la geometria metrica ordinaria dei punti e 

 delle sfere può considerarsi come caso particolare di quella delle 

 rette e dei complessi lineari, quando si scambino tra loro le 

 parole punto e retta, sfera e complesso lineare. E il fonda- 

 mento di queste analogie verrà da noi trovato nel fatto che 

 entrambe quelle geometrie metriche ammettono, per cos'i dire, 

 due assoluti, dei quali l'uno è la quadrica di rette o la qua- 



(*) V. Cremona, Sulla corrispondenza fra la teoria dei sistemi di rette e 

 la teoria delle superficie (Atti della R. Accademia dei Lincei, tomo 3°, serie 2*, 

 numero 27). 



