SULLE GEOMETRIE METRICHE ECC. 163 



R formano un solo sistema di oc' fasci aventi tutti comune un 

 piano a corrispondente a quella sfera: donde segue immediata- 

 mente che l'elemento a sta su R ed ha questo piano a per 

 igkmo tangente. — I punti dello spazio ordinario essendo in 

 generale centri di sfere nulle da essi individuate potremo inten- 

 derli rappresentati dai piani tangenti ad li che rappresentano 

 queste sfere nulle, o meglio ancora dagli elementi di contatto 

 di quei piani con R. In questo modo i punti dello spazio or- 

 dinario saranno rappresentati univocamente nello spazio S da- 

 gli elementi di R, i quali perciò chiameremo anche punti. Però 

 siccome nello spazio ordinario tutti i punti all'infinito sono centri 

 di una stessa sfera nulla, il piano all'infinito doppio, ed inoltre 

 ogni punto il quale oltre ad essere all'infinito stia sull'assoluto 

 euclideo può considerarsi come centro di un fascio di sfere com- 

 poste del piano all'infinito e di piani tangenti all'assoluto nel 

 punto stesso, così l'elemento a di R rappresenterà nello stesso 

 tempo tutti i punti air infinito dello spazio ordinario , mentre 

 ogni punto all'infinito posto sull'assoluto euclideo sarà rappre- 

 sentato da una co' di elementi di R formanti un raggio pas- 

 sante per a e giacente nell'intersezione di R con « (*). — No- 

 tiamo poi che nello spazio ordinario due sfere sono ortogonali 

 quando sono coniugate armoniche rispetto alle due sfere nulle 

 del loro fascio: dunque in S^ i piani rappresentanti due sfere 

 sono coniugati rispetto alla quadrica R quando queste sfere sono 

 ortogonali. In particolare, se l'una delle sfere è nulla la condi- 

 zione perchè l'altra ne contenga il centro, sarà che il punto di 

 contatto con R del piano rappresentante la prima sfera stia 

 sul piano rappresentante la seconda. Ne segue immediatamente 

 che i punti dello spazio ordinario i quali stanno su una sfera 

 sono rappresentati in S^ dai punti di R posti sul piano rap- 

 presentante quella sfera; cosicché in questo modo di vedere le 

 sfere dello spazio ordinario, considerate come luoghi di punti, 

 figurano in S^ come le sezioni piane della quadrica /S' a 3 di- 

 mensioni. Quelle tra queste sezioni che hanno un punto doppio, 

 cioè che sono fatte con piani tangenti ad R, costituiscono le 



(*) Tutti questi risultati sulla rappresentazione dello spazio ordinario di 

 punti in una quadrica a 3 dimensioni furono ottenuti dal Klei.v nei lavori 

 citati mediante una proiezione stereografica ; qui abbiamo voluto mostrare 

 un modo diretto di trovarli. 



