SULLE UEOMKTRIR METRICflE E('<'. lt)5 



l{^.^,=z(). Ogni punto 'jj all'infinito sarà j)OÌ caratterizzato, per 

 (guanto dicemmo, dal soddisfare oltre che l'equazione R^.^. = 

 l'equazione lineare a^. =0. 



\ punti che stanno su una sfera soddisferanno ad un'equa- 

 zione lineare tra le r . . Se i coefficienti di quest'equazione si 



rappresentano con jR^.^ = [ — — ^ (il che si ))uò sempre fare poiché 



il discriminante di // non ò nullo), vale a dii-e se (|uest'"equazione 

 si scrive così : 



noi diremo che le 6', sono le coordinato di quella sfera: in altri 

 termini noi assumeremo come coordinate di una sfera determi- 

 nata d ali intersezione di B, con un certo piano le coordinate del 

 polo di questo piano rispetto ad B. La sfera e si ridurrà ad 

 una sfera nulla, il cui centro avrà le stesse e^ per coordinate, 

 se 7?p(. = 0, e si ridurrà ad un piano dello spazio ordinario (col 

 piano ali infinito) quando a^=z ^. 



V angolo ce di due sfere di coordinate t, , 6',', nel senso ordi- 

 nario di ciuella parola, coincide, come già notammo, colla distanza 

 (nel senso di Cayley e Klein) delle sfere stesse, quando per 

 assoluto si prenda la quadrica delle sfere nulle {*) ed è quinci 

 dato, per la nota formula di Cayley. dalla formula : 



A , Bf.^, 



cos ce 



yi^cc^c 



Quell'angolo sarà retto se le due sfere sono ortogonali, sicché 

 in questo caso si avrà: i?^^, = 0, condizione, che si sarebbe 

 pu)'e dedotta dal dover essere i due piani di S^ rappresentanti 

 quelle sfere coniugati rispetto ad B. 



[*) Questo, che f'i dimostrato analiticamente dal Cremona nella Memoria 

 citata, l'isulta immediatan ente per via sintetica dal fatto che le sfere di un 

 fascio corrispondono proiettivamente ai loro piani tangenti in un punto co- 

 mune, e gli angoli mutui di questi piani, cio^ di quelle sfere, si ottengono, 

 con,' è noto, scegliendo per asse )1 ito in quel fascio di piani i due piani tan- 

 genti ai cerchio iniagmai'io all'infinito, cioè i due piani tangenti nel punto 

 considerato alle due sl^re nulle del fascio. 



