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Cerchiamo ora la distanza xx tra due punti x, x di coordi- 

 nate date Xi, xl (soddisfacienti alle condizioni ifc^.^=0, i?^,^,=0). 

 Per questo notiamo che i due punti individuano questa distanza 

 a meno del segno, sicché solo il quadrato della distanza sarà una 

 funzione ad un sol valore delle x^, x-. Questa funzione dovrà 

 essere omogenea di grado zero, sia nelle x^ , sia nelle x\ , poiché 

 non può alterarsi se le .r,- ovvero le x'j si moltiplicano per un 

 fattore qualunque. Inoltre scrivendo che la funzione stessa ha un 

 valor dato e supponendo che le x'i siano date si deve avere l'equa- 

 zione nelle Xi di una sfera (di centro x'), cioè un'equazione la quale, 

 tenendo conto della Rxx— ^ ^i^ lineare. Dunque quella funzione è 

 espressa da un fratto in cui numeratore e denominatore sono forme 

 lineari nelle Xi . e, per la stessa ragione, nelle x i. Ora quella fun- 

 zione deve annullarsi solo ([uando i due punti x.a: stanno su 

 una retta nulla, cioè quando -B^.^f =0, mentre essa deve diventare 

 infinita solo quando l'uno dei due punti stessi sia all'infinito, il 

 che accade solo, come vedemmo, quando «^=0 oppure a^,.=rO. 

 Dunque quella funzione non può differire che per un fattor nu- 



p 

 merico da _ iil. E siccome le funzioni R^^, a^ non cessano, ugua- 



gliate a zero, di rappresentare gli enti visti, se vengono molti- 

 plicate per un fattore numerico qualunque, così noi possiamo 

 supporre che luna o l'altra delle funzioni stesse venga moltipli- 

 cata per un tale fattore numerico che si abbia precisamente : 



X X = (*) . 



(*) Benché la via tenuta per giungere a questo risultato ci sembri pre- 

 feribile, pure indicheremo un altro modo di giungervi, il quale in sostanza 

 differisce poco da quello tenuto dal nostro caro amico Gino Loria nel suo 

 lavoro sulle sfere. Rispetto a tre assi cartesiani ortogonali siano 



5j = K,(a;- + j/* + ^*) — 2i-a7— 2m,2/ - 2n.2+p.=zO , 



dove i — 1 , 2 , , . . 5 , le equazioni di 5 sfore qualunque. Ogni altra sfera potrà 

 rappresentarsi con 2a7,Sj = e le x- si potranno perciò assumere come sue 

 coordinate. Il quadrato del suo raggio sarà evidentemente espresso da 



sicché la condizione, perchè la sfera si riduca ad un piano, sarà appunto 

 x^ — 0, ed il numeratore poi di quel fratto sarà la nostra forma quadra- 



