SULLE GEOMETRIE METRICHE ECC. 17o 



La <jeoì)K'iri<( meiricd di'ìlc rrfir r dei cohiplessi lineari 

 include come caso particolare la (jconieiria weirica dei punti 

 e delle sfere {*). Hi passa da una proposizione appartenente alla 

 prima geontetria ad una proposizione appìartenente alla seconda 

 cambiando le parole rette e complessi lineari in punti e sfere. 

 uguagliando sempre a zero Vangalo di due rette e ponendo in 

 luogo della radice quadrata del momento di due rette e in 

 luogo del loro intervallo la distanza tra due ptunti. 



Noi ci ]jroponiamo nei seguenti paragrafi di cerciire colle 

 nostre coordinate generali di retta varie formule e proprietà me- 

 triche importanti c!ei complessi lineari; e, applicando ogni volta 

 il pi ilici i)io ora dimostrato, no trarremo formule e proprietà me- 

 triche delle fcfere. 



§ 4. 



Occupiamoci anzitutto della ricerca dell'asse di un complesso 

 lineare e rei centro di una sfera quando siano date le coordi- 

 nate e, del complesso o della sfera. È noto che la retta x con- 

 iugata di X rispetto al complesso lineare e è definita dal fatto 

 che i complessi lineari speciali aventi per direttrici x e x fanno 

 fascio con e ; e cojì pure il punto x coniugato di x rispetto alla 

 sfera e (cioè ali inversione rappresentata da questa sfera) è definito 

 dal fatto che le sfere nulle x, x fanno fascio con e. Di qui si 

 trae immediatamente che per espressioni delle coordinate di x in 

 fanzione di quelle di x e di e si può prendere : 



(1) x;=2]ì,,c,-B, 



X, 



Ora la definizione ordinaria dell'asse x di un complesso lineare 

 e equivale a questa: lasse x e tale che la sua retta coniugata 

 x' rispetto a e è, considerata come complesso lineare speciale, il 

 complesso polare di x rispetto ad Q. Kiducendo Ù ad a 'j, cioè 

 considerando punti e sfere, questo asse x diverrà il punto x avente 



(*) I nostri ragionamenti ci mostrano pure che, fatta astrazione del numero 

 delle dimensioni, la g<'ome/rta metrica euclidea dei pvnti e delle sfere sarebbe 

 affatto identica alla g^oni-tria metrica delle rftte e dei complessi lineari dello 

 spazio ordinario quando in quest uHima geometria la conica costitittnte l'as- 

 soluto euclideo si facesse degenerare in una coppia di punti. 



