SULLE GEOMETRIE METRICHE ECC. 175 



Queste equazioni sono quelle che determinano l'asse x del com- 

 plesso lineare e. Esse sono nelle x^ equazioni di 1° grado ad al- 

 trettante incognite ed i coefficienti di queste hanno un determinante 

 |i?,;^|, che non è nullo : quindi la risoluzione si può sempre fare. 

 Ma conviene tenere le formule (6) senza mutazioni. Esse sono le 

 formule che danno U coordinate delVasse di un complesso lineare 

 dato, qualunque sia il sistema di riferimento (e più immedia- 

 tamente ancora danno i coefficienti dell'equazione di quell' asse, 

 considerato come complesso delle rette che lo secano). 



Le stesse formule si possono anche ottenere col seguente pro- 

 cedimento. Nello spazio S,- nel quale la quadrica R costituisce 

 l'ordinario spazio di rette consideriamo l'elemento e le cui coor- 

 dinate Ci sono quelle del complesso lineare considerato. L'asse o: 

 di questo complesso è un elemento di R la cui retta coniugata, 

 cioè il secondo elemento x d'intersezione di B, col raggio che 

 congiunge e con x, ha per piano tangente ad B, ì\ piano polare 

 di X rispetto ad Lì. Ma il piano polare di x rispetto ad Ù e, 

 per la natura della quadrica Q, sempre tangente ad lì in un 

 elemento doppio di il : questo elemento doppio di è dunque x' , 

 donde segue (trovandosi e ed x in uno stesso raggio con x') che 

 il piano polare di x rispetto ad il è lo stesso che il piano polare 

 di e rispetto ad Q. E come gli elementi x, e ed x' sono su uno 

 stesso raggio, così i loro piani polari rispetto ad lì dovranno 

 formare fascio, cioè dovrà essere : 



Basta dunque determinare 1 : [j. in modo che realmente il piano 

 di coordinate R^/^ sia tangente ad R, cioè che sia : 



>.J^^+i^-0„ 



Xi2,,+ ,aO., R,, =0 . 



[1 determinante del 1° membro si trasforma tosto nei seguenti : 





P-0,, R, 



Q.. I 



= -}.(Ài?,,-f 2^i],,;|i/,,i + ^^|i2c. H. 



ik 



