SULLE RIGATE RAZIONALI 267 



mensioni e clie inoltre non si scinda in superficie d'ordine inferiore. 

 Da queste ipotesi segue che un S,, qualunque taglierà in generale 

 F^" secondo una curva d'ordino v non degenero e non contenuta 

 in ispazi lineari a numero di dimensioni minore di n , cioè secondo 

 una curva razionale normale per un /S'„ {*). Quindi la nostra ri- 

 gata, avenilo le sue generatrici corrispondenti univocamente ai punti 

 in cui tagliano una tal curva, sarà anch'essa razionale. 



Nel caso in cui tutte le generatrici passassero per un punto, la 

 rigata sarebhe un cono razionale d'ordine n : noi escluderemo d'or 

 innanzi questo caso, poiché le proprietà di questi coni si trovano 

 immediatamente considerandoli come provenienti dal proiettare una 

 curva normale d'ordine ìì dello spazio ad n dimensioni da un punto 

 posto fuori di questo. 



2. Ogni ^S,, taglia la F^" in una curva normale d'ordine n, op- 

 pure in una curva d'ordine Jc < n incontrata da tutte le generatrici 

 ed in n—Jc generatrici; ma non può la curva d intersezione scin- 

 dersi in due o più curva propriamente dette, altrimenti la rigata 

 si scinderebbe in altre rigate, le cui generatrici taglerebbero rispet- 

 tivamente quelle varie curve. Possiamo aggiungere che ogni curva 

 di ordine ni^n contenuta nella superficie è una curva normale dello 

 spazio ad m dimensioni, vale a dire, non sta in uno spazio di minor 

 numero [j. di dimensioni : infatti se stesse in un tale spazio, siccome 

 tutte le generatrici dovrebbero tagliare quella curva si potrebbe per 

 lo spazio stesso e per n — [j. punti della superficie posti fuori di esso 

 e su generatrici diverse far passare un S„ , il quale conterrebbe le 

 n — jU. generatrici passanti per quei punti ed inoltre la curva d'ordine 

 m e quindi taglierebbe la superficie in una curva composta d'ordine 

 n-\-ni — (j.'>n, il che non può essere se quell' S„ non contiene 

 tutta la superficie. — La stessa dimostrazione prova che anche 

 quando la curva d'ordine ni si scinde in più generatrici ed una 

 curva semplice direttrice, essa non può appartenere ad uno spazio 

 di meno che m dimensioni. 



Come applicazione di quest'ultima proposizione abbiamo che 

 ogni curva semplice d'ordine ^ n contenuta nella superficie, taglia 

 ciascuna generatrice in un punto solo. 



(*) V. Clifford, On the class'ficadon of Loci (Philosoph. Trans., 187S, 

 p. 663 681, od anche Mathematica! Papers, p. 305-329), e VEnoWESB, Loc. cit., 

 n.35 e seg. 



