SULLE RIGATE RAZIONALI 269 



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dine sia = - , essa non conterrà alcuna ciirvLi direttrice d'ordine 



inferiore, ma potrà però contenere (e contiene effettivamente, come 

 vedremo) altre curve dello stesso ordine. Queste osservazioni ci 

 mostrano dunque che : in ogni spazio ad n-\-\ dimensioni, ìe 

 rigate di ordine n sono di diverse specie, ben distinte tra toro, 

 a seconda dell'ordine detta direttrice minima (vale a dire d'or- 

 dine minimo) che esse contengono, quest'ordine potendo variare 



n —\ n 



da 1 ad — — ovvero ad . 



2 2 



Chiameremo una rigata dell' m esimo grappo quando la sua 

 direttrice minima è dell'ordine m . Quindi le rigate del 1" gruppo 

 hanno per direttrice minima una retta, quelle del 2° gruppo una 

 conica, quelle del '3'^ gruppo una cubica e cos'i via. Nello spazio a 



• TI . . . ^' — 1 



numero pan di dimensioni, cioè per n impari, vi sono — ; — gruppi: 



. n — 1 



l'ultimo ha per direttrice minima una curva normale d'ordine . 



2 

 n 



Nello spazio a numero impari di dimensioni vi sono — gruppi : il 



(9 



n 



gruppo I —) esimo ha per direttrici minime delle curve d'ordine — . 



A questi gruppi di rigate si potrebbe aggiungere il gruppo dei 

 coni, che noi abbiamo escluso dai nostri ragionamenti e pel quale 

 l'ordine della curva minima è 0. poiché tutte le generatrici passano 

 per un punto. 



5. Consideriamo una F^' del gruppo nt ''''""' e diciamone '/'" la 

 direttrice minima, d'ordine m . Se si conduce un /S'„ per un numero 

 di sue generatrici superiore ad ni , esso taglierà '/"' in più di m 

 punti e quindi conterrà quella curva e non potrà perciò tagliare la 

 superficie che in altre generatrici : ciò s'accorda col fatto già di- 

 mostrato che la F" non può contenere curve semplici (direttrici) 

 d'ordine inferiore ad n — m all'infuori di y '" . Ma se invece si 

 conduce un >S'„ per sole m generatrici, allora la parte rima- 

 nente della sua intersezione colla rigata non si decomporrà più 

 in generale: si può assoggettare quell' S\, a passare oltre che per 

 quelle generatrici per {n — 2m-\-lj punti della rigata posti 

 su altrettante nuove generatrici e fuori della y "' , ed allora 

 si iarà certi che lintersezione non si decomporrà più ulterior- 



