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mente , perchè se si decomponesse dovrebbe contenere ancora 

 Y "' eie m + (i? — 2w+ 1) generatrici, cioè un insieme d'or- 

 dine w + 1 , il che non può essere. Dunque l'intersezione dell' ^S'„ 

 così determinato colla rigata comprende oltre alle ììi generatrici 

 una curva semplice d'ordine n- m passante per gli {n—2m-\-\) 

 punti scelti ad arbitrio sulla rigata. D'altronde tenendo fisse 

 quelle m generatrici e facendo variare quegli [n — 2tìi-\-\) punti, 

 vale a dire quell' >S'„ passante per le m generatrici stesse, si 

 otterranno come residui delle intersezioni della rigata con tali /S'„ 

 tutte le C'"~"' (curve normali d'ordine n — ni) contenute nella su- 

 perficie ; perocché ogni C"~"' di questa tagliando ciascuna delle ni 

 generatrici considerate starà sempre in un S,^ con esse. Quindi la 

 proposizione dimostrata che la i^^" rigata del gruppo m "^'""^ non con- 

 tiene curve d'ordine inferiore ad n — m viene completata aggiun- 

 gendo che: ogni rigata del gruppo m^^""° contietie però oo"~*""^' 

 curve d'ordine n — m , una qualunque delle quali è individuata 

 dalla condizione di passare per {n—2m-{-\) punti arbitrari 

 della superfìcie. Due qualunque di tali carve d'ordine n — in si 

 tagliano in n — 2 m punti, poiché con:lucendo per l'una di esse un S,^ , 

 questo taglierà ancora la rigata in m generatrici e taglierà l'altra 

 curva in n — m punti, dei quali m staranno rispettivamente su 

 queste e gli altri n—2m in conseguenza sulla prima curva (*). 



n 

 In particolare per n pari ed m = -- noi vediamo che su una 



Ci 



rigata d'ordine pari e del gruppo I — I esimo vi sono, non una sola, 



ti 

 ma oo^ direttrici (minime) d'ordine —, come già avevamo asserito : 



Là 



per ogni punto della superficie ne passa una sola, e due qualunque 

 di tali curve non hanno alcun punto comune. Esse si possono tutte 

 ottenere come intersezione della rigata con un fascio di 8 „, il cui 



sostegno è un 8,^_^ condotto per — generatrici arbitrarie. 



(*) Cogli stessi ragioiiameiiti si dimostrano le seguenti proposizioni : Sa 

 ogni rigala d'ordine n del rp-uppo m esimo esistono, per Q--^k-- m, 

 ^n-tk+i direttrici d'ordine n — k in modo che per {n — 2k + \) punti 

 arbitrari della superficie ne passa una determinata : tutte queste curve si 

 possono ottenere come residuo dell' intersezione della rigata cogli Sn passatiti 

 per h sue generatrici fissale ad arbitrio, — Due direttrici degli ordini n — h' , 

 n~ h" dd'a superficie si tagliano in n — k' — k^^ punii. — Queste proposi- 

 zioni possono servire di fondamento per una geometria sulla superfìcie. 



