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SULLE RIGATE RAZIONALI 271 



III. 



Cnsti'uzioìie delle rl(ja(e e loro eijuazloriì canoni cìie. 



0. Ora siamo in f^rado di ))rovare l'esistenza effettiva delle 

 superficie dei vari gruppi, ossia di costruirle. Considerando in fatti 

 la F^" del gruppo ^)/ esimo, si vede che 1' /S'„_,„ contenente una 

 qualunque delle sue C'"~"'non può avere una posizione particolare 

 rispetto all' *S'„, contenente la direttrice minima y'" , vale a dire non 

 può avere punti comuni con esso, peroccliè altrimenti per quel 'S'„_,„ 

 e questo S ^ si potrebbe far passare uno spazio ad un numero 

 di dimensioni < w + 1 il quale conterrebbe necessariamente la 

 superfìcie, il che non è, per ipotesi. Inoltre osserviamo che due 

 curve semplici qualunque d' ordine ^ n della superficie , ed in 

 particolare la direttrice minima d'ordine m e ciascuna delle di- 

 rettrici d'ordine n — m , sono punteggiate proiettivamente dalle ge- 

 neratrici, perocché per ciascun punto di ogni curva passa sempre, 

 come vedremo tra poco (v. alla fine del n. 9) una sola genera- 

 trice, ed ogni generatrice taglia in un punto solo ciascuna curva 

 (come osservammo alla fine del n" 2). Inversamente abbiansi su 

 due spazi lineari ad di ed n — w dimensioni indipendenti tra loro, 

 cioè non aventi punti comuni, due curve normali C" , XJ"~'" pun- 

 teggiate proiettivamente: le congiungenti dei punti corrispondenti 

 avranno per luogo, com'è facile vedere, una rigata d'ordine n (*). 

 E se m^n — m , sarà la C" la (od una) curva minima di quella 

 rigata, laonde questa sarà una F^ " rigata, non contenuta in ispazi 

 di meno che n~\-ì dimensioni, e del gruppo wi esimo. 



(*) In fatti nello spazio ad w-i-1 dimensioni che congiunge quell' .9m 

 e queir Sn-m per avere i punti d'intersezione di un suo Sn — i con quella 

 rigata si può procedei'e come segue: ad un punto P della C "' corri- 

 sponde un punto della C" — "^ il quale è congiunto all'in — i da un Sn 

 tagiiante la C^ in m punti P'j e ciascuno di questi punti P' è con- 

 giunto all' Su— i da un S„ tagiiante la C" — '» in n — ra punti, a cui 

 corrispondono altrettanti punti P della C»'; sicché tra i punii P, P' di 

 questa vi è una co!TÌsponden/,a [m, n — m) i cui m, ■\- (n — m)=:n punti 

 uniti sono quelli pei quali partono generatrici della rigata secanti VS?i — ì , 

 sicché n saranno quelle generatrici, ossia quella rigata è realmente d'or- 

 dine «. 



