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In questo modo noi vediamo come si possano costruire le rigate 

 d'ordine n dei vari gruppi dello spazio ad n + 1 dimensioni. Inoltre 

 se si tien conto del fatto che le C" (e le C"~"') normali si pos- 

 sono tutte trasformare proiettivamente tra loro, risulta quasi im- 

 mediatamente da quella costruzione che tutte le rigate di uno 

 stesso gruppo sono proiettivamente identiche tra loro, vale a dire 

 che date in dne spazi ad n-\- 1 dimensioni due rigate d'ordine n 

 appartenenti alio stesso gruppo^ si piiò (in infiniti modi) determi- 

 nare ttn omografìa tra quegli spasi nella quale quelle rigate si 

 corrispondano. 



7. Possiamo anche trovare una rappresentazione canonica e 

 caratteristica di ciascun gruppo di superficie mediante equazioni. 

 Siano cc^^ , x^ , x^ , . . . , x„, , x„,_^_, , . . . , x„^, le coordi- 

 nate di un punto nello spazio ad n + 1 dimensioni considerato ; 

 potremo evidentemente supporre che la direttrice minima y'" 

 di una superficie del gruppo m esimo sia rappresentata dalle 

 equazioni : 



X u — i , X ^ — A , X 2 — '■ j • • • ) ^ m -—- '• > 



e che una C"'"'" sia rappresentata da : 



JC^zrO , X^ = . . . , X„,= , 



X \ X 1 T )"-'«. 



inoltre possiamo supporre che la corrispondenza proiettiva tra i 

 punti delle due curve sia espressa dall'avere il parametro ). lo stesso 

 valore per due punti corrispondenti di queste curve. Allora le coor- 

 dinate di un punto qualunque della rigata, cioè di un punto posto 

 su una congiungente di due punti corrispondenti saranno: 



,• — 1 rr — \ //. — y 2 „ — \ m 



0. ~~ ' 1 — ' 2 — .' ' • • • 1 "^ m — '■ » 



Tenendo fisso ). in queste formule e facendo variare [j. si hanno 

 tutti i punti di una generatrice, e variando anche ). si hanno 

 tutti i punti della superficie. Dalle formule stesse poi si traggono 



