SULLE EIGATE RAZIONALI 273 



le w — 1 equazioni della superficie eliminando /e [j.: queste equa- 

 zioni si possono scrivere come segue: 



'^ m —2 ^ m — I 



*^ ni 1 «^ nr 



Questo sistema di equazioni si può riguardare come caratteristico 

 per le superficie rigate i^^" del gruppo m esimo ; esso ci mostra im- 

 mediatamente ciò che avevamo già concluso dalla generazione geo- 

 metrica, cicè che tutte queste superficie sono proiettivamente iden- 

 tiche fra loro, 



IV. 



Proprietà diverse. 



8. Una C" la quale sia secata da un S^ {r<.n) in più 

 di r -\- 1 punti o appartiene ad uno spazio a meno di n dimen- 

 sioni, oppure si scinde in curve d' ordine inferiore ; poiché per 

 queir S^ e per altri n — r—\ punti della C" posti fuori di esso 

 si può in tal caso far passare un *S'„_, , il quale taglia questa 

 in più di [r -\- 1) -\- {n — r — 1 ) = n punti e quindi la contiene o 

 totalmente od in parte {*). Se ne deduce facilmente che se un 

 S^{r<.ìi) seca una rigata F J' dello spazio ad n-\-\ dimen- 

 sioni in più di r -\- 1 punti, esso la taglierà in una curva, perocché 

 un S„ passante per esso taglierà la superficie in una C" avente 

 comuni col S^ più di >•+ 1 punti. 



Consideriamo l'intersezione di un S'„_, colla rigata F^" del gruppo 

 m esimo. In generale quest'intersezione si compone di n punti. ]\Ia 

 possiamo anche far passare 1' 'S'„_, per le generatrici, se 2 li "^n. 

 Allora a seconda che /j supera o no il numero m , ordine della 

 direttrice minima, si avranno due casi ben distinti. Se Jom , al- 

 lora r aS'„_, contiene più di m punti della direttrice minima y"' 



(*) V. Veronese, Loc. cit., n.49. 



