664 GINO LORIA 



§ 1. 



Generazione e rappresentazione di un complesso tetraedrale. 



1 . Fra i punti d'uno spazio S e quelli d'uno spazio S' si 

 supponga esistere una corrispondenza proiettiva qualunque de- 

 terminata da cinque coppie P„ P,' (a := 1,...,5) di elementi omo- 

 loghi. Le rette p che uniscono le coppie P, P' di punti cor- 

 rispondenti dei due spazii formano una varietà a tre dimensioni, 

 che, com'è noto (*), è un complesso di secondo grado C\ avente 

 la superficie singolare costituita, come luogo, dai piani, e, come 

 inviluppo, dai punti uniti della data corrispondenza proiettiva , 

 e che può anche definirsi quale luogo delle rette di >S' che se- 

 cano le loro corrispondenti in S' : esso si suol chiamare com- 

 plesso tetraedrale {**). 



2. Ad ogni punto P di *S' corrisponde in generale una de- 

 terminata retta p' del complesso , che è la congiungente del 

 punto P col suo omologo P' in S' . Viceversa ad ogni retta p' 

 del complesso 6',/ corrisponde un determinato punto di S , il quale 

 non è che il punto d'intersezione di p colla retta che questa, 

 eonsiderata in S\ ha per omologa in S. 



Per conseguenza si può dire che il complesso tetraedrale C' 

 è rappresentato univocamente sui punti di S : ogni punto di S 

 è imagine della retta del complesso uscente da esso, ogni retta x*' 

 del complesso O./ ha per imagine quel punto di p il cui 

 omologo in S' sta su p . K utile consi<lerare separato lo spazio 

 S [spazio rappresentativo) dallo spazio S' [spazio del complesso) 

 perchè una stessa figura si comporta diversamente secondochè 

 vien considerata in S o in S' . 



(♦) Cfr. Reye, l.c, p. 135. 



(**) È bene avvertire fin d'ora che, affinchè il complesso tetraedrale non 

 degeneri in due lineari , basta (cfr. una nota dell' A. Sulle corrispondenze 

 proiellive fra due piani e fra due spaiii inserita nel voi. 22, p. 1, del Giornale 

 di matematiche) che gli elementi uniti della corrispondenza siano in numero 

 finito, e non ò necessario di supporli distinti. Spesso accadrà nel discorso di 

 parlare di 4 punti o di 4 piani uniti : notiamo espi'essamente che con ciò 

 non escludiamo che due o più di essi possano venire a coincidere in direzioni 

 determinate. 



