INTORNO ALLA GEOMETRIA ECC. 665 



§ 2. 



Eìemcnii cccczioudìi delia rappresentazione. 



3. Siccome su una varietà lineare non si possono rappre- 

 sentare proiettivamente che varietà lineari, e siccome lo spazio 

 })iinteggiato S è una varietà lineare mentre non è tale il com- 

 plesso CI, così la corrispondenza ora stabilita deve avere degli 

 elementi eccezionali. Qnali essi siano, scaturisce dalle considera- 

 zioni seguenti: 



a) Siccome un punto d" uno de' piani uniti della corri- 

 spondenza considerato in S lia per omologo in S' uu punto del 

 piano stesso, così un punto d'un tal piano è imagine d'una retta 

 di (7./ posta in esso piano; fra i punti d"un piano unito e le 

 rette corrispondenti esiste una corrispondenza quadratica. 



h) A un punto dell'intersezione di due piani uniti corri- 

 sponde in C\l questa intersezione (die è una retta doppia 



di CV). 



e) A un punto unito della corrispondenza corrisponde una 

 retta qualunque uscente da esso. 

 Viceversa : 



a') Una retta rpuilunque d'un piano unito è rappresen- 

 tata da un punto del piano stesso ; fra le rette d'un piano 

 unito e le loro imagini esiste una corrispondenza quadratica. 



h') A una retta doppia di C./ corrisponde un punto qua- 

 lunque di essa. 



e) Una retta uscente , da punto unito della corrispon- 

 denza ha per imagine il punto stesso. 



Così resta stabilito , che i punti uniti della corrispondenza 

 proiettiva, e le loro congiungonti a due a due, sono gli unici 

 elementi eccezionali della rappresentazion\ Imprendiamo ora lo 

 studio di questa, cioè stabiliamo la connessione fra le congruenze 

 e le rigate di C./, e le superficie e le curve che le rappresentano. 



