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due rette coincitìenti della congruenza {piani focaii della con- 

 gruenza), fra questi formeranno una sviluppabile quelli soddisfa- 

 centi ad una nuova condizione e saranno in un numero finito 

 quelli soddisfacenti ad altre due. Meritano speciale menzione la 

 sviluppabile dei piani caratterizzati dalla proprietà di contenere 

 ciascuno due coppie di rette coincidenti della congruenza (piani 

 che possono chiamarsi hifocaìi) e quella dei piani ognuno dei 

 quali contiene tre rette coincidenti della congruenza (e che in- 

 dicheremo col nome di piani osculatori). Le classi della super- 

 ficie focale e di queste due sviluppabili si determinano nel se- 

 guente modo. 



17. A un piano focale 9' della congruenza corrisponde in S 

 una retta appartenente al complesso C, e tangente a y,„: ora ai 

 piani dello spazio S' passanti per una retta r' corrispondono le 

 rette del complesso Cc> che sono generatrici della quadrica p., 

 corrispondente a r (n. 8), onde ai piani focali passanti per /' 

 corrisponderanno le rette di C, poste in p^ e tangenti a y,„. Ma 

 queste sono in generale 2 r se r è il rango {'^) di y,„, dunque 

 la classe della superfìcie focale è in generale 2 r. Siccome poi 

 P2 ha una generatrice in ogni piano unito, così se y,,, ha per 

 piano tangente singolare Ya"'° piano unito, fra quelle 2 r tangenti 

 è da annoverarsi questa generatrice di p^ contata due volte, 

 e questa non è iraagine d'un piano focale passante per /. Ep- 

 però potremo enunciare il seguente teorema generale: 



La superfìcie focale d' una congruenza corrispondente a 

 una superfìcie di rango r avente nei piani uniti q piani tan- 

 genti singolari è di classe 2 (r — q). 



Questo teorema è dovuto a Klein [**) ; un altro teorema 

 dovuto allo stesso geometra (*^*) ci permette di calcolare l'or- 

 dine X della superficie focale : ritenendo infatti le notazioni pre- 

 cedentemente usate avremo: 



X — 2 ( /• — ^ ) = 2 Zm— ^ n>^ — ni 



(*) Per rango intendiamo, come d'uso, il numero delle tangenti alla su- 

 perficie che appartengono a un qualunque fascio di raggi. 



(**) Raso trovasi enunciato alla fine della citata memoria di Lie. 



(♦**) La differenza fra l'ordine e la classe d'una congruenza è la metà della 

 differenza fra l'ordine la classo della sua superficio focale (Cfr. LiK 1. e, e 

 ScHUBERT, Kalkid der Abiuhlenden Geometrie, p.Gl, 1879). 



