676 GINO LORIA 



La svlìiipiìahile dei piaìil oscuìafori (V una congruenza 

 ^301,01 è in generale di classe 



m{m~ 2) (in + 8). 



20. Riguardo al numero dei piani focali soddisfacenti due 

 condizioni, noteremo che, siccome le tangenti quadripunte d'una 

 superficie generale d'ordine m, le rette aventi con essa un con- 

 tatto bipunto e un contatto tripunto e le rette aventi con essa 

 tre contatti bipunti, formano tre rigate degli ordini rispettivi 



2 m (m — 3) (3 m - 2), m (m — 3) {ni — 4) (nr + 6 m - 4), 

 - m (m - 3) {m - 4) (m ~ 5) (»r + 3 m - 2) (^-) 



o 



e siccome il complesso C,^ contiene (in virtìi del primo dei citati 

 teoremi di Halplien) rispettivamente 



4w(m — 3) (3w — 2), 2w(m — 3)(w — 4) (w- + 6m- 4), 



2 



- m {nò — 3) {ni — 4) {ni ~ 5) (;yr -f 3 w — 2) 



o 



generatrici di queste rigate , così : 



Vi sono 4 ni (m — 3) (3m — 2) piani ognuno dei quali con- 

 tiene quattro rette coincidenti della congruenza Fj,^, ^. 



Vi sono 2 m (m — 3) (m — 4) (m- + 6m — 4) piani ognuno 



dei quali contiene nna coppia e una terna di rette coincidenti 



della congruenza Fj,,,^. 



2 ' , 



Vi sono - m (m — 3) (m — 4) (m — 5) (m"^ + 3 m — 2) piani 



ó 



ognuno dei quali contiene tre coppie di rette coincidenti della 

 congruenza V^,,,^^ (piani trifocali). 



21. Oltreché render possibile la determinazione di queste 

 singolarità della congruenza , la rappresentazione indicata può 

 servire a tradurre molte altre proprietà delle superficie in al- 

 trettante delle congruenze V^,,,„^: p. es. essa dà la generazione 



(*) Cfr. Sai.mon-Fiedler, Anali/'.ische Geom. d. Rawnes , BJ. II, p. 035, G36, 

 638; 1880. 



