680 GINO LOEIA 



Consideriamo in particolare il caso in cui la data curva sia 

 l'intersezione c^ di due quadriche proprio -coniugate rispetto al 

 tetraedro formato dagli elementi uniti. Si lia allora una rigata 

 ( tetraedralmente simmetrica ) di ottavo grado avente su ogni 

 faccia del tetraedro di simmetria (piattro generatrici e una co- 

 nica doppia. 11 genere di tale rigata è 1, quindi la curva (di 

 ottavo ordine) sezione di essa con un piano qualunque deve con- 

 tenere venti punti doppii (o cuspidi), cioè dodici, oltre agli otto 

 derivanti dalle quattro coniche doppie ; dunque, oltre a queste, 

 la rigata ha una curva doppia di 12° ordine. Questa notevole 

 superficie è la quadri spinai e di La Gournerie: le cose ora dette 

 possono servire di base a una trattazione geometrica di tale 

 superficie (^). 



2(3. Una questione analoga a quella di cui si tenne parola 

 al n. 23 è la seguente : 



Determinare tutte le rigate contenute in una congruenza 

 corrispondente a una data superficie dello spazio rappresentativo ; 

 questa segue, in un certo senso, quella, perchè dopo aver de- 

 terminate in generale le varie specie di rigate contenute in un 

 complesso tetraedrale sorge naturale la domanda di quali fra 

 esse esistano in un 'assegnata congruenza del complesso stesso. 

 Ebbene, a questa si risponde col teorema seguente : 



La conyrncììza rapiwcscntata da una superficie quaìiinquc 

 7ni d'ordine m couticne tante rigate di grado g quante sono 

 le curve d'ordine k contenute in quella superficie e passanti k„ 

 rotte per V ^"^ puìito unito, ess-riido k, k„ numeri intiri "non ne- 

 gativi soddisfacenti le equariioni 



g = 2k-ÌK , h + K + K^f'^- 



Se quindi la superficie non jiassa per alcun punto unito. Io 

 studio detta geometria detta corrispondente congruenza coincide 

 con quello detta, geometria sulla superficie data; se essa passa 

 un numero qualsivoglia di volte per uno o più punti uniti , la 

 geometria detta coìigrucnza coincide con quella della superfìcie 

 in cui siano fissati uno o più punti. Si vede adunque come dallo 

 studio già fatto della geometria su varie superficie si possano 



{*] Le proprietà di questa superficie ora ottenute si trovano dimostrate 

 analiticamente a pp. 5, U, 10 e IM della citata opera di La Gournerie. 



