682 GINO LORIA 



Queste relazioni ci fanno vedere che in nn comi>lesso te- 

 traedrale, di congruenze di prima classe, esistono solo quelle degli 

 ordini 0, 1, 2, 3 C^'); e precisamente si hanno: 



a) Quattro congruenze di classe 1 e ordine , formate 

 dalle rette poste nei piani uniti della corrispondenza e rappre- 

 sentate dai piani stessi. 



ì)) Sei schiere semplicemente infinite di congruenze di 1" 

 ordine e V classe (lineari) rappresentate dai sei fasci di piani 

 aventi per assi le congiuugenti dei punti uniti; p. es. un piano 

 condotto pei punti uniti ?/„ , U^ rappresenta una congruenza li- 

 neare avente per diretti'ici una retta pel punto U„, nel piano 

 U^lL^Ug e una retta pel i)unto U^ nel piano U^TJ\Us {*''''). Le 

 sei schiere si distribuiscono in tre coppie di schiere associate ; 

 due congruenze si diranno appartenere a schiere associate se sa- 

 ranno rappresentate da 2 piani passanti per due spigoli opposti 

 del tetraedro degli elementi uniti ; due congruenze di schiere 

 associate hanno comune un sistema di generatrici d'una quadrica, 

 due di schiere non associate un fascio di raggi del complesso. 

 Una retta del complesso determina in generale una e una sola 

 congruenza di ogni schiera. 



e) Quattro schiere doppiamente infinite di congruenze di 

 P classe e 2" ordine rappresentate dai piani delle quattro stelle 

 aventi i centri nei punti uniti, ogni schiera è coordinata a uno 

 di questi, le coniche focali delle congruenze d'una di esse sono 

 le oo^ coniche inscritte nel triangolo avente per vertici i punti 

 uniti della corrispondenza diversi da quello a cui la schiera è 

 coordinata. Due congruenze hanno comune un fascio di raggi se 

 appartengono alla stessa schiera , una quadrica del primo dei 

 sistemi considerati al n. 23 se appartengono a sistemi diversi; 

 viceversa ognuna di tali quadriche determina una congruenza di 

 ogni schiera. 



d) Una schiera triplicemente infinita di congruenze di 

 3° ordine e 1* classe; una di queste congruenze ha una conica 

 in ogni piano unito della corrispondenza ; due congruenze della 

 schiera hanno comune una rigata del primo dei sistemi del n. 23. 



(*) Più generalmente: siccome ò M(=3m — S >??„)< 3 w così : 11 massimo 

 ordine di una congruenza di classe, m contenuta in un complesso tetraedrale, 

 è 3 w. 



(**) Cfr. ReYe, Die Geometrie der Lage, Bd. II, p. 139. 



