684 GINO LORIA 



Le altre soluzioni trovate al n. 28 combinate coi teoremi 

 dei mimeri 13, 14 ci danno i risultati seguenti : 



30. In quaìunqur coniplrsso tciracdrale esistono (qudtiro 

 schiere composte ciascuna di) co" congruenze di 2^ classe e 

 5° ordine. Ognuna ha tre rette doppie poste nello stesso 

 piano, ìin invilnppo piano di A" classe (con tre tangenti doppie-), 

 tre di 3^ classe i^con ima tangente doppia ciascuno), sei di se- 

 conda e fmahìiente tre fasci di raggi ; la sna superfìcie fo- 

 cale è di 4^ classe e di 10" ordine (Kummer, 1. e. § 10. 

 Teor. 42). 



Se la quadrica rappresentatrice d"una di queste congruenze è 

 un cono, la congruenza acquista una nuova retta doppia; i sei 

 inviluppi di 2*' classe coincidono a coppie e lo stesso accade per 

 due dei fasci di raggi. 



31. In cjìialunqne complesso tetraedrale esistono (sei schiere 

 composte ciascuna di) oo'' congruenze di 2" classe e 4° ordine. 

 Ognuna di esse ha una retta doppia, due inviluppi piani di 

 3" classe (con una tangente doppia ciascuno), (2 + 2.2=) sei 

 di seconda classe, (2+2.2=) sei fasci di raggi; la sua su- 

 perficie focale è di 4^ classe e 8" ordine (Kummer, 1, e. § 9. 

 Teor. 40), 



Della congruenza di 4" ordine e 2" classe si possono con- 

 siderare i due seguenti casi particolari : 



a) Se la quadrica rappresentativa è un cono, la congruenza 

 acquista una retta doppia, quattro dogli inviluppi piani di se- 

 conda classe vengono a coincidere a coi)pie e lo stesso accade 

 di quattro dei fasci di raggi. 



A) Se la quadrica ra])]jresentativa, non solo passa per due 

 punti uniti, ma contiene la loro congiungente, la congruenza 

 acquista pure una retta doppia, due dei fasci di raggi vengono 

 assorbiti dalla retta doppia (cfr. n. 14, in fine) e ai due di 3" 

 classe vengono a sostituirsi due di seconda. 



32. In qualìtncjue complesso tetraedrale esistono (quattro 

 schiere composte ciascuna di) oJ' congruenze di 2" classe e 3" 

 ordine. Ognuna di esse contiene (1 +3.3=:) dieci fasci di raggi 

 e (3+2=;) cinque inviluppi piani di seconda classe e ha una 

 sup)erfìcie focale di 4'" elasse e 6" ordine (Kummer, 1. e, § 8. 

 Teor. 38). Si possono citare i seguenti casi speciali: 



a) Se la quadrica rappresentatrice è un cono, la congruenza 

 acquista una retta doppia, sei dei fasci di raggi vengono a coiii- 



