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perficie di 4° ordine e 4^* classe con una retta doppia) è una 

 superficie del complesso di Pliicker relativa a una retta del 

 complesso. 



a') La quadrica contenga la congiungente di due punti 

 uniti. La congruenza ha allora questa per retta doppia e con- 

 tiene 4 fasci di raggi passanti per essa (di cui due corrispon- 

 dono alle generatrici della quadrica poste nei piani uniti passanti 

 per la retta doppia e diverse da questa, e gli altri due ai piani 

 tangenti alla quadrica nei punti uniti appartenenti alla retta 

 doppia) ed altri 8 fasci di raggi. La sua superficie focale è (a 

 differenza del caso precedente) una superficie del complesso affatto 

 generale (Krummer, 1. e. § 7. Sclmr, 1. e, p. 25, 26). 



il) Se la quadrica rappresentativa contiene le congi ungenti 

 di due coppie di punti uniti, la congruenza quadratica avrà due 

 rette doppie e due quaterne di fasci di raggi passanti risp. per 

 esse ; la sua superficie focale, essendo di 4" ordine e 4' classe 

 con due generatrici dojìpie non secantisi, è una rigata di 4° 

 grado della specie XI di Cremona (^■) - (Kummer, 1. e. § 7. 

 Schur, 1. e. p. 27-28). 



r) Se la quadrica contiene i lati d'un quadrilatero gobbo 

 avente per vertici i punti uniti della corrispondenza, la super- 

 ficie focale si scinde in due quadriclie contenenti il medesimo 

 quadrilatero, epperò la congruenza si può definire come luogo 

 delle tangenti comuni a queste due superficie (Schur, 1. e. p. 29j. 



d) Se la quadrica contiene le rette che uniscono uno dei 

 punti uniti della corrispondenza ad altri due, la congruenza 

 acquista due rette doppie che si secano e conserva soltanto quattro 

 fasci di raggi non passanti per esse. La sua superficie focale 

 è una superficie di 4" ordine e 4^ classe con due rette doppie 

 che si secano, cioè è una superficie del complesso di Pliicker 

 relativa a una tangente della superficie singolare (Schur, 1. e. 

 p. 26, 27). 



e) Se finalmente la quadrica rappresentativa contiene tre 

 delle congiungenti i punti uniti, di cui una seca le altre due 

 che non s'incontrano, la congruenza ha pure tre rette doppie 

 una delle quali incontra le altre che sono gobbe, ma non contiene 

 più alcun fascio di raggi (non passante per rette doppie). La 



(*) V. la memoria: Sulle superfìcie gobbe di 4" grado, n. 12 (Mem. dell'Ac- 

 cademia di Bologna, 186S). 



