088 GINO LORIA 



.^ 7. 



Geometria su. vna eongrìieìisn di 2" elasse. 

 Mi gate in essa eoritentite. 



35. Come esempio del modo di procedere nella soluzione 

 del problema enunciato al n. 25, col metodo ivi indicato pro- 

 poniamoci di studiare la geometria su una congruenza di 2^ 

 classe. I teoremi dei numeri 29-33 ci dicono già che una tale 

 contiene 0, 3, G, 10 o 1(3 fasci di raggi (rigate di primo grado) 

 secondoclìè il suo ordine è rispettivamente G (P specie), 5, 4, 

 3 2 ; cerchiamo ora le rigate di 2" e 3" grado che si trovano 

 in una di esse. Premettiamo le seguenti osservazioni generali. 



3G. E noto (f) che su una quadrica esistono tante schiere di 

 curve d'ordine A; per quanto sono gli spezzamenti del numero /.; 

 in due numeri interi e positivi p , ej cioè (ritenendo diversi due 

 spezzamenti come j), g e q, p) /.•— 1 e che la schiera corrispon- 

 dente allo spezzamento j) , 5 è X^-\-q-\-p q volte infinita. Le curve 

 non degeneri di questa schiera che passano rispettivamente 

 Ji\,l\,li,l\ (essendo l'i^O) volte per 4 punti fissi formano una 



1 \ 

 varietà a 2'^ +i> + (? — - ^ /•'« (^'«+1) dimensioni e sono di ge- 



nere (i> — 1) (5 — 1 ) — ^-^ ^'a Q'a ~ 1) • (Supponendo ora che quei 



punti fissi siano i punti uniti della corrispondenza proiettiva esi- 

 stente fra i due spazii S, S', potremo dedurre da ciò il teorema 

 seguente, che si può dire compendii tutta la geometria su una 

 congruenza di 2^ classe. 



Se eon s^ («=1,2,3, 4) si huliea imo dei ìiKììieri 0, 1 e 

 con g un numero arbitrario dato , e si determinano le solu- 

 zioni intere non negative deìt^'qxaj^ione 



g=2k~kk^ 



(*) PlÌÌcker, Die analytisch>; Geometrie der Curven auf den Fldchen 2^^ 

 Ordnung. G. dì Creile. Voi. 3ì, pp. 341 e 360. Caylky, On the Curves situated 

 on a Sur face of the S'^cond Order. Pliil. Magazine, Voi. ??, Serie 4^, 1861. 

 Chasles, Comptes rendus, Voi. LUÌ, pp. 985, 1U77, 1123. 



