690 OINO LORIA 



In entrami)! i casi particolari considerati al n. 31 due di 

 queste scliiere coincidono. 



40. Supponendo la congruenza di 3° ordine, si ha: 



In una congruenza di 3" ordine e 2* classe si trovano cinque 

 schiere semplicemente infinite di rigate quadriehe, due rigate 

 qualisivogliano hanno nessuna o una retta comune secondochè 

 esse appartengono alla stessa schiera o a schiere differenti. 



Nei primi due casi speciali indicati al n. 32, due di queste 

 schiere vengono a coincidere, nel terzo ciò avviene due volte, 

 epperò non si hanno che tre schiere di quadriehe. 



41. Veniamo finalmente alle congruenze di 2° ordine e 2* 

 classe. 



Su una di queste esistono due schiere semplicemente infinite 

 di quadriehe (che indicheremo con IJ, G) provenienti dai due 

 sistemi di rotte della quadrica rappresentatrice ; poi sei schiere 

 semplicemente infinite (che indicheremo con S n^) provenienti 

 dalle coniche sezioni della superficie data con piani passanti per 

 le congiungenti le coppie [U\ U^) di punti uniti; finalmente le 

 due schiere semplicemente infinite aS'^, S^ provenienti dalle due 

 schiere di cubiche gobbe passanti pei punti uniti e aventi per 

 bisecanti le rette d'uno dei sistemi della quadrica data e per 

 unisecanti quelle dell'altro. Mediante la rappresentazione si vede 

 subito che due quadriehe della stessa schiera non hanno alcuna 

 retta comune e che due quadriehe di schiere diverse hanno una 

 o due rette comuni secondochè le due schiere sono scelte ad 

 arbitrio oppure formano una delle coppie seguenti: 



D, Sj \ G, Sg-, aS,^, /S3, ; /S',3 , S,^^ ; S,^, S^-^ . 



Per conseguenza abbiamo il teorema: 



Una qualunque congruenza di secondo grado contiene dieci 

 schiere semplicemente iìifìnite di quadriehe distrihnite in cinque 

 coppie di associate; due quadriehe qualunque della congruenza 

 hanno due, una, nessuna retta comune, secondochè esse ap- 

 partengono a schiere associate, a schiere non associate alla 

 stessa schiera [*). 



{*) Cremona, Sulla corrispondenza fra la teoria dei sistemi di rette e la 

 teoria delle superfìcie, n.22 (Atti della R. Accademia dei Lincei, serie li, t. 3). 

 Caporali, Sui complessi e sulle congraence di secondo grado, n. 10 (Ib. 

 serie Ili, voi. 2). Schur, l.c. , p. !8. 



