GEOMETRIA SULLE CURVE ELLITTICHE 21 



La serie derivata della ^^^'^[2, 3j è una (/./'^[2, 1 ] ; /a 

 ^2^'^^(2, 3j è ciclica del sesto ordine. Per costruire una gj'^^ 

 (2, 3], si stabilisca sulla curva una I^^\ la quale sia trasfor- 

 mata in se stessa da una data l.j^\ e ad ogni punto della curva 

 si facciano corrispondere quei due punti, che formano un gruppo 

 di Jg^'^ col punto coniugato al primo in /J''. 



La serie derivata della ^.,''^[2, 4j è un altra ^2^"|2, 4 1 ; 

 la proposta non è ciclica che in casi particolari. 



L'esistenza e le proprietà delle quattro famiglie di ^7.,^'^ con- 

 ducono subito all'esistenza e alle proprietà delle quattro fami- 

 glie di curve di una rigata ellittica F./*"*"^ di S^f., che segano 

 due volte ogni curva minima della rigata. 



21. Abbandoniamo l'analoga ricerca per le gj-^^ di indici 

 «=3,4..... che, a quanto crediamo, sarebbe poco fruttuosa. 



Preferiamo di terminare questo lavoro con una formula che 

 può ricevere qualche applicazione. 



La serie gj-""' [ «", j ] contiene 



(r+l)(n^■ — rj) 



gruppi con punti multipli secondo r+1 (1). 



Dimostreremo il teorema per r = 1 ; per giungere al caso 

 generale si proceda da r a r-\-\. 



La (/„'" giaccia sopra la C""*"^ ellittica normale Gli 00^ spazi 

 S„_^ determinati dai gruppi ^„^'^ costituiscono una varietà F„'''*^' a. 

 n dimensioni, d'ordine 2i-\-j. 



D' altra parte le corde di C"~^^ che incontrano uno spazio 

 jR„_j n — secante la curva , formano una rigata d'ordine n F.,". 

 Questa rigata sega F,,-''^' lungo una curva d'ordine n{2i-\-j), 

 che si scinde nella C"'^~ contata i volte , in un certo numero y 

 di rette, e poi in certe curve d'ordine n — 1 sezioni della F," 

 con quegli spazi S,^_^ che appartengono a F,^'''^' , e nel tempo 

 stesso sono secanti di F,". 



Ora questi ultimi spazi sono in numero di j, perchè gli 

 spazi secanti di F," determinano sulla C"'^~ una I„^"~^\ la quale 

 ha j gruppi comuni con ^„^"; quindi 



n (2 i+j) = i {n + 2) + 2/ +i {n - 1) ; 



(1) i indica quanti gruppi di gj'') contengono r punti dati, j quanti gruppi 

 appartengono ad una ^„("— ') razionale. 



