20 GUIDO CASTELNUOVO 



settimo ordine ; oppure in tre cubiche gobbe giacenti a due a 

 due in coni quadrici aventi uno stesso raggio comune ; (in questo 

 caso la rigata acquista un raggio doppio e diventa ellittica). 



La serie ^o^"(2, 3 | ha il genere 2 (che si abbassa ad 1 se 

 la serie contiene un gruppo doppio), e possiede due punti doppi. 



IV. Kigata dell'ottavo ordine di genere 1, avente una ulte- 

 riore curva doppia del 16° ordine con quattro punti sestupli, la 

 quale si scinde in quattro curve piane del quarto ordine razio- 

 nali ; ciascuna sega C^ in quattro punti (1). 



La serie gj-^^ [2, 4 j è ellittica ed è costituita dalle cop- 

 pie di punti omologhi in una corrispondenza di 2^ specie (non 

 involutoria ) ; la serie può riferirsi univocamente ai punti della 

 curva; i quattro gruppi della serie giacenti in una /^^'^ banno 

 un rapporto anarmonico costante. Se la serie ha un punto doppio, 

 essa ne ha infiniti e diventa l'identità. 



20. Siano .... 1, 2, 3 . . . . r, r + 1 . . . . punti di una curva 

 ellittica così disposti, che a ciascuno corrispondano il precedente 

 ed il seguente in una ^,^'' [2, j ]\ noi diciamo che la g.j^^ è 

 ciclica di ordine r, se r+1 coincide con 1, e quindi r-\-2 

 con 2, ecc. E in ogni caso diremo serie derivata della proposta 

 quella g.^' 1 2, j ' j , nella quale sono coppie 1,3; 2,4; 3, 5 ; .... ; 

 r, r -f- 2 ; .... Per trovare la relazione fra j ed j' diciamo e, e 

 i numeri dei punti doppi della serie proposta e della derivata : 

 e' è anche il numero dei gruppi della proposta che hanno un 

 punto comune coi gruppi infinitamente vicini. Applicando la nota 

 formola di corrispondenza di Zeuthen alla curva sostegno e alla 

 serie proposta, di generi risp. 1, tt, e considerando come corri- 

 spondenti punto e gruppo che si appartengano, si ottiene 



c'-c = 4(;:-l), 

 ossia j- j' = 2{n— 1 ) . 



Da questa e dalle considerazioni del n° precedente segue: 

 La serie derivata della gJ-'^\^2, l ì è la serie stessa; la 

 ^2^'^ [2, Ij è ciclica del terzo ordine. 



La serie derivata della gj^^ [2, 2 | è una involuzione ra- 

 zionale X,^'^ contata due volte; la gj^^^ [2, 2] è ciclica del 

 quarto ordine. 



(1) Le interessanti proprietà di questa rigata sono studiate dall' Harnack 

 (Math. Ann., Bd. 12) e dal Weyk {Ein Beilrag sur Gruppentlieorie. Sitzb. 

 Wien, Bd. 88). 



