18 GUIDO CASTELNUOVO 



Varie conseguenze derivano dalla formula. Anzitutto non può 

 essere 71= 0, ed è n=l solo quando ^ =|1, oppure j' = w?'; nel 

 primo caso i gruppi di gj-^^ possono riferirsi univocamente ai 

 punti di C. 



Poi : Se due curve ellittiche sono in- corrispondenza (n, n) cia- 

 scuna delie due curve può riferirsi univocamente all'altra, oppure 

 ad una involuzione ellittica d'ordine t? giacente sulVaìtra (1). 



Il teorema è contenuto in questo: Se fra due curve ellit- 

 tiche passa una corrispondenza (m, n) , ciascuna delle curve 

 può riferirsi univocanienfe alValtra, oppure a una involuzione 

 ellittica d'ordine mn giacente su questa. 



18. Limitiamoci alle serie di coppie di punti. Una gy^[i, j\ 

 contiene in generale Ai — 2 j punti doppi. Per dimostrarlo 

 basta applicare il principio di corrispondenza al fascio che pro- 

 ietta da un punto di una cubica piana generale i gruppi di una 

 g.}'\ riguardando come corrispondenti due raggi determinati da 

 punti di una coppia. 



La rappresentazione delle coppie di punti della curva C sopra 

 una rigata ellittica Fg^*^^ di S^^ ci dà un mezzo per studiare 

 tutte le serie gJ-'K per le quali j =: 1. Infatti si assuma il 

 numero /.; (che è in nostro arbitrio) uguale ad i; allora la gj''' ha 

 per imagine sulla T/'"*"^ una curva d'ordine 2 «', e reciprocamente. 

 Quindi (2): 



Sopra una curva ellittica si trovano oo^'~^ gj^^^ di indici 

 i, 1 ; 2i — 1 coppie di punti appartengono a due tali serie. 



Ciascuna di queste serie è evidentemente ellittica, anzi può 

 riferirsi univocamente a C; la serie possiede 2(2?' — 1) punti 

 doppi, ed ha 2i — ì coppie comuni con una involuzione ellit- 

 tica J^. Due serie r/,^'' [ /, l| hanno 2i — \ gruppi comuni. 



19. Fermiamoci in particolare sulle serie g^^^ che hanno per 

 primo indice /=2, {corrispondenze simmetriche (2, 2)). La 

 formula del n° 17 ci dice che sono possibili i quattro casi 



j=l,7T=l; i = 2,7r=2; jr=3, 7: = 2; j = 4,7r = l. 



Ma per provare che questi casi realmente si presentano, ci 

 conviene indagare quali siano le rigate costituite da corde di 



(1) Questa involuzione sarà sempre la If^g del n" 14? In tal caso (e così 

 avviene per n^2) la prima parte del teorema sarebbe sufficiente. 



(2) Segrk, Bieerche sulle rigate ellittiche, n" 18. 



