GEOMETRIA SULLE CURVE ELLITTICHE 17 



Questa proprietà si estende facilmente. 



I gruppi di n punti di Mia curva ellittica possono rap- 

 presentarsi sui punti di ima varietà ad n dimensioni composta 

 di una serie oo^ ellittica di spazi S„_^ , riferita univocamente 

 alla curva. Ogni spazio S,^.^ della serie rappresenta una I„'"'^^ della 

 curva ellittica. 



Dimostriamo il teorema per la varietà normale l\,"'^^ com- 

 posta di c>o' S„_^ in S„f^ {k qualunque); di questa sola varietà 

 parleremo nel seguito. 



Nella r,/'*+^ della specie più generale, k elementi S„_^.^ de- 

 terminano uno spazio S„^_^ , il quale sega ulteriormente la varietà 

 in una analoga varietà r„_j ("-i)*+i di >S',„_j)^; ed ogni S„^_^ pas- 

 sante per un tale S(^„_^^/. contiene k elementi della varietà pri- 

 mitiva. La varietà primitiva contiene oo^ di queste r„_j'"~'^ ''^^, le 

 quali formano una serie ellittica riferita univocamente alla proposta, 

 e tale che per ogni punto di F,"'^"'"^ passano n varietà F '^~ ^ , 

 ed n tali varietà, scelte ad arbitrio, si segano in un punto. Se 

 quindi ai punti della curva ellittica si fanno corrispondere le varietà 

 r„_j^"~^^ '■'^^ di r,"'^"^' , ogni gruppo di n punti di C ha per 

 iniagine un punto di r,,"^^^ e reciprocamente. 



17. Sopra una curva ellittica C sia data una serie g,^ ^''a 

 una dimensione. Molte proprietà della gj'^ dipendono da due 

 numeri (indici), il primo dei quali i ci dice quanti gruppi della 

 r/,, ^'^ contengono un punto arbitrario di C, il secondo j quanti 

 gruppi della </,/'^ appartengono ad una /,/""' ^ arbitraria di C; 

 la serie sarà caratterizzata dal simbolo g,,^'^ [ i, j |. Per esem- 

 pio la J,/'^ razionale ha per indici 1, 0, la j",, ellittica 1, n. 



La ^,/'^(^, j] è rappresentata sopra la r,,""'"^^ di S„^ da 

 una curva d'ordine i + kj , che sega ogni aS'„_j elemento di T 

 in j punti ; e reciprocamente. 



Considereremo soltanto le /y,/'^ senza gruppi doppi, vale a 

 dire quelle serie le cui curve imagini sulla F,,"''''^ non hanno 

 punti doppi. In tale ipotesi una formula del sig. Segre (1) ci 

 conduce subito a questa : 



ij- l)ini—j) 

 n (n — 1) 



la quale dà il genere n della 5'„^'^(«, i]. 



(1) Sulle varietà algebriche composte di una serie semplicemente infinita 

 di spazi ( Rend. Lincei , Atti 87). 



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